若x?0，f?x??e?ax?0恒成立，
xex即当x?0时，a??，
xxexexx?ex?1?x?e设H?x???，H'?x???， ?xx2x2当x??0,1?时，H'?x??0，则H?x?在?0,1?上单调递增， 当x??1,???时，H'?x??0，则H?x?在?1,???上单调递减， 所以当x?1时，H?x?取得最大值.
H?x?max?H?1???e，
所以，要使x?0时，f?x??0恒成立，a的取值范围为??e,???.
xx（2）由题意，曲线C为：y?elnx?e?x.
令M?x??elnx?e?x，
xxex?1??exlnx?ex?1???lnx?1?ex?1， 所以M'?x??x?x?设h?x??111x?1?lnx?1，则h'?x???2??2， xxxx当x?1,e时，h'?x??0，
故h?x?在?1,e?上为增函数，因此h?x?在区间?1,e?上的最小值h?1??ln1?0， 所以h?x????1?lnx?1?0， x1?lnx0?1?0， x0当x0??1,e?时，ex0?0，
?1?x0所以M'?x0????lnx0?1?e?1?0，
?x0?xx曲线y?elnx?e?x在点x?x0处的切线与y轴垂直等价于方程M'?x0??0在x?1,e上有实数解.
??而M'?x0??0，即方程M'?x0??0无实数解.
故不存在实数x0??1,e?，使曲线y?M?x?在点x?x0处的切线与y轴垂直. 【点睛】
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．
19．已知椭圆C:9x2?y2?m2(m?0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l3的斜率，若不能，说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，4?7或4?7． 【解析】
试题分析：（1）设直线l:y?kx?b(k?0,b?0)，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM的斜率，再表示（2）第一步由 (Ⅰ)得OM的方程为y??的坐标，第二步再整理点
；
9x．设点P的横坐标为xP，直线OM与椭圆方程联立求点Pk，如果有值，并且满足k?0，
的坐标，如果能构成平行四边形，只需
k?3的条件就说明存在，否则不存在.
试题解析：解：(1)设直线l:y?kx?b(k?0,b?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)．
?y?kx?b2222∴由?2得(k?9)x?2kbx?b?m?0， 22?9x?y?m∴xM?9bx1?x2kb??2，yM?kxM?b?2． 2k?9k?9yM9??，即kOM?k??9． xMk∴直线OM的斜率kOM?即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值?9． （2）四边形OAPB能为平行四边形．
m,m)，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k?0，k?3 39由 (Ⅰ)得OM的方程为y??x．设点P的横坐标为xP．
k∵直线l过点(9x,k∴由{得2229x?y?m,y??将点(，即
mk(k?3)mm(3?k),m)的坐标代入直线l的方程得b?，因此xM?．
3(k2?9)33四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP?2xM ∴?km3k2?9?2?mk(k?3)．解得k1?4?7，k2?4?7．
3(k2?9)∵ki?0,ki?3，i?1，2，
∴当l的斜率为4?7或4?7时，四边形OAPB为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点
是弦的中点，（1）知道中点坐标，求
直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM斜率的关系时，也可以选择点差法，设
,
，代入椭圆方程
，两式相减
，化简为，两边同时除以
得，而,,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即xP?2xM，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
20．已知正实数a，b满足a?b?4 . （1）求
14
? 的最小值. ab
221??1?25?（2）证明：?a????b??… a??b?2?【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果. （2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可. 【详解】
9；（2）见解析 414a?b?14?1?b4a?????5??（1）因为a?b?4 ，所以???? ab4?ab?4?ab?因为a?0，b?0 ，所以
b4ab4a48?…4 （当且仅当? ，即a?,b? 时等号成立）， abab33所以
1?b4a?195??…?(5?4)? ??4?ab?442211?11???a?b??4???22???（2）证明：?1??1??ab?ab? ?a??b?…?????a??b?22?因为a?b?4 ，所以
22111?11?1?ab?1??(a?b)???????2?…?(2?2)?1 ab4?ab?4?ba?41??1?25?故?a????b??… （当且仅当a?b?2 时，等号成立）
a??b?2?【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题. 21．数列?an?满足a1?1，an是?1与an?1的等差中项.
（1）证明：数列?an?1?为等比数列，并求数列?an?的通项公式； （2）求数列?an?2n?的前n项和Sn.
nn?12【答案】（1）见解析，an?2?1（2）Sn?2?n?2
【解析】 【分析】
（1）根据等差中项的定义得an?1?1?2an，然后构造新等比数列?an?1?，写出?an?1?的通项即可求 （2）根据（1）的结果，分组求和即可 【详解】
解：（1）由已知可得an?1?1?2an，即an?1?2an?1，可化为an?1?1?2?an?1?，故数列?an?1?是以
a1?1?2为首项，2为公比的等比数列.
即有an?1??a1?1??2n?1?2n，所以an?2n?1.
n（2）由（1）知，数列?an?2n?的通项为：an?2n?2?2n?1，
?Sn??21?22?23?L?2n???1?3?5?L?2n?1?
?2?1?2n?1?2?n2?2n?1?n2?2
n?12故Sn?2?n?2.
【点睛】
考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.
22．数列?an?满足an?0，a1?1且an?1?an?3an?1an?0.
?1?（1）证明：数列??是等差数列，并求数列?an?的通项公式；
?an?（2）求数列?an?an?1?的前n项和Sn.
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