平行四边形全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 3. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：S平行四边形?底?高
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：S矩形＝长?宽
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S菱形＝底?高＝对角线?对角线
24．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.
要点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S正方形=边长×边长＝
1×对角线×对角线 24．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、平行四边形
1、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点
B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的
同侧），如果BD＝
1AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ） 41313A． B． C． D．
4554
【答案与解析】
解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵APBE，
∴四边形APEB是平行四边形， ∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四边形BDEF是平行四边形， ∴EF∥BD，EF＝BD， 即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
1AB，∴PE＝AB＝4a， 4则PF＝PE－EF＝3a，
设BD＝a，∵BD＝∵PH∥BC，
∴S△HBC?S△PBC，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形， ∴BH＝PF＝3a，
∵S△HBC:S△ABC＝BH：AB＝3a：4a＝3：4， ∴S△PBC:S△ABC＝3：4．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比． 举一反三：
【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作
正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．
【答案】
证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠BAC＝90°
∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形， ∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC , ∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60° ∴∠1＝∠2
易证△BAC≌△BDF（SAS）， ∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90° 同理可证△BAC≌△FEC ∴AB＝AD＝EF＝3
∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵DF∥AE，DF⊥BD
延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点 ∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×类型二、矩形
3＝6. 22、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形
ABCD的面积．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝0B＝OC＝OD， ∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH， 即：OE＝OF＝OG＝OH， ∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC， ∵DG⊥AC，
∴∠DGO＝∠DGC＝90°， 又∵DG＝DG， ∴△DGC≌△DGO， ∴CD＝OD，
∵F是BO中点，OF＝2cm， ∴BO＝4cm，
∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm， ∴CB＝DB2?DC2?43，
∴矩形ABCD的面积＝4×43?163cm．
【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等． 举一反三：
【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四
边形DEFG．
（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；
（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．
2
【答案】
解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：
∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG是△ABC的中位线；
∴DG∥BC，且DG＝
1BC； 21BC； 2同理可证：EF∥BC，且EF＝
∴DG∥EF，且DG＝EF；
故四边形DEFG是平行四边形；
（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：
连接OA；
同（1）可证：DE∥OA∥FG； ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG⊥DE； ∴OA⊥BC；
即O点在BC边的高上且A和垂足除外．
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