高中数学第1章计数原理1.3.1组合与组合数公式学业分层测评北师大选修2-3

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.1 组

合与组合数公式学业分层测评 北师大版选修2-3

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、选择题

1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

【解析】 从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 【答案】 C

2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为

( )

A．4 C．28

B．8 D．64

2

【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C8＝28条公路． 【答案】 C

3．组合数Cn(n>r≥1，n，r∈N＋)恒等于( ) A.

rr＋1r－1

Cn－1 n＋1

r－1

B．(n＋1)(r＋1)Cn－1 D.Cn－1

r－1

r－1

C．nrCn－1 【解析】 Cn－1＝·【答案】 D

nrr－1

nrnrn－1！n！r＝＝Cn.

r－1！n－r！r！n－r！

4．满足方程Cx－x16＝C16的x值为( ) A．1,3,5，－7 C．1,3,5

2

25x－5

B．1,3 D．3,5

2

【解析】 依题意，有x－x＝5x－5或x－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．

【答案】 B

5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )

1

A．20 C9

3

B．9 C． D．C4C5＋C5C4

1

21

21

【解析】 分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C4个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C5个平面．故可确定C4＋C5＝9个不同的平面．

【答案】 B 二、填空题

6．C3＋C4＋C5＋…＋C21的值等于________．

【解析】 原式＝C4＋C4＋C5＋…＋C21＝C5＋C5＋…＋C21＝C21＋C21＝C22＝C22＝7 315. 【答案】 7 315

7．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个. 【导学号：62690013】

【解析】 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C5＝10个子集．

【答案】 10

8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)

【解析】 从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C10＝210种分法．

【答案】 210 三、解答题

9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？

【解】 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选36×5×43

个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C6＝＝20个．

3×2×1

117

10．(1)求式子x－x＝x中的x；

C5C610C7(2)解不等式C8>3C8. 【解】 (1)原式可化为：0≤x≤5，∴x－23x＋42＝0，

∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解． (2)由

8！3×8！

>，

m－1！9－m！m！8－m！

2

4

3

0

1

2

18

1

2

18

17

18

18

4

0

1

2

18

1

1

1

m－1mx！5－x！

5！

－

x！6－x！

6！

＝

7·x！7－x！

，∵

10·7！

2

得

13

>，∴m>27－3m， 9－mm271∴m>＝7－.

44

又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8.

能力提升]

1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )

A．36个 C．63个

B．72个 D．126个

【解析】 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C9＝126个．

【答案】 D

2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( ) 【导学号：62690014】

A．140种 C．70种

B．84种 D．35种

1

2

4

【解析】 可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C4·C5＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C4·C5＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．

【答案】 C

3．对所有满足1≤m

【解析】 ∵1≤m

【答案】 6 4．证明：Cn＝【证明】 ＝

m1

2

1

3

1

4

2

3

2

2

2

1

m2

m1121231234

m2

nn－mmCn－1.

mnn－mCn－1＝

n－1！

n－mm！n－1－m！

·

nn！

m！n－m！

m＝Cn.

3