2－i－
1.(2011·安徽皖南八校联考)复数z满足z＝，则z等于( )
1－iA．1＋3i 31C.－i 22[答案] C
2－i
[解析] ∵z＝＝
1－i－31
∴z＝－i，故选C.
22
i
2．(2012·哈三中二模)已知复数z＝，则复平面内表示复数z的点位于( )
2－3iA．第一象限 C．第三象限 [答案] B i
[解析] z＝＝
2－3i
＋－
＋
－3＋2i32＝，对应点为(－，)．
131313
B．第二象限 D．第四象限
－
2
＋
3＋i＝，
2
B．3－i 13D.＋i 22
3．(文)(2013·武汉市部分学校12月联考)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)为纯虚数的概率为( )
1111A. B. C. D. 34612[答案] C
[解析] ∵(m＋ni)＝m－n＋2mni为纯虚数， ∴m－n＝0，∴m＝n，
(m，n)的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m＝n的取法有6种， 61∴所求概率P＝＝. 366
(理)(2012·陕西理，3)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”
i的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 由ab＝0知a＝0或b＝0，当a＝0时，若b≠0，则复数a＋为纯虚数，否则ai＋为实数，反之若a＋为纯虚数，则b≠0且a＝0，则ab＝0，故“ab＝0”是“a＋为纯虚iii
2
2
2
2
2
2
bbbbb - 1 -
数”的必要不充分条件．
42
4．(2012·东北三校模拟)已知z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z＝( )
zA．2 B．2i C．2＋4i D．2－4i [答案] A
[解析] ∵z＝1－i， 4422∴＋z＝＋(1－i)＝z1－i
＋－
＋－
－2i＝2.
z－5．(2012·洛阳市示范高中联考)已知＝2－i(z是z的共轭复数)，则复数z在复
1＋2i
平面内对应的点位于( )
A．第一象限 C．第三象限 [答案] D
－
[解析] ∵z＝(1＋2i)(2－i)＝2＋4i－i＋2＝4＋3i，∴z＝4－3i在复平面内对应点(4，－3)位于第四象限．
2＋i
6．(2011·温州八校期末)若i为虚数单位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，则点(a，b)
1－i与圆x＋y＝2的关系为( )
A．在圆外 C．在圆内 [答案] A
2＋i
[解析] ∵a＋bi＝＝1－i13
＝＋i(a，b∈R)， 221a＝??2∴?3
b＝??2
＋
2
＋
B．在圆上 D．不能确定
2
2
B．第二象限 D．第四象限
，
?1?2?3?25
∵??＋??＝>2， ?2??2?2
?13?22
∴点P?，?在圆x＋y＝2外，故选A.
?22?
7．(2011·无为中学月考)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的→→→
点分别为A、B、C.若OC＝xOA＋yOB，则x＋y的值是________．
- 2 -
[答案] 5
→→→
[解析] ∵OC＝xOA＋yOB， ∴(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
??－x＋y＝3∴?
?2x－y＝－2?
??x＝1
，解得?
?y＝4?
，故x＋y＝5.
π
8．设i为虚数单位，复数z＝(3＋4i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，θ≠kπ＋，则tanθ
2的值为________．
4
[答案] － 3
[解析] ∵z＝(3＋4i)(cosθ＋isinθ)＝(3cosθ－4sinθ)＋(4cosθ＋3sinθ)i∈R，∴4cosθ＋3sinθ＝0，
π4
∵θ≠kπ＋，∴cosθ≠0，∴tanθ＝－. 23
9．一个正四面体玩具，它的四个面上标有数字－1,0,1,2，连续抛掷两次，记第一次向下的面上数字为a，第二次向下的面上数字为b，设复数z＝a＋bi，则z的对应点在第二象限的概率为________．
1
[答案]
8
[解析] 若z＝a＋bi的对应点在第二象限，则a<0，b>0，这样的点有2个，即(－1,1)，(－1,2)，∴所求概率为P＝
21＝. 4×48
a2－7a＋102
10．已知复数z＝＋(a－5a＋6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分
a－2
别为：
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
??a－5a＋6＝0，
[解析] (1)当z为实数时，?
?a－2≠0.?
2
∴a＝3，
∴当a＝3时，z为实数．
?a－5a＋6≠0，?
(2)当z为虚数时，?
??a－2≠0.
2
∴a≠2且a≠3，
故当a∈R，a≠2且a≠3时，z为虚数．
a－5a＋6≠0，??2
(3)当z为纯虚数时，?a－7a＋10＝0，
??a－2≠0.
2
- 3 -
∴a＝5，故a＝5时，z为纯虚数.
能力拓展提升
11.(文)(2011·东北四市统考)已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为( )
13
A.＋i 2213C.－i 22[答案] A [解析]
B.31＋i 2231－i 22
D.
z1·z2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋
13
cos37°sin23°)i＝cos60°＋i·sin60°＝＋i，故选A.
22
(理)若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z＝－1的θ值可能是( ) A.C.π 6π 3
πB. 4πD. 2
2
[答案] D
??cos2θ＝－1
[解析] ∵z＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴?
?sin2θ＝0?
2
.
∴2θ＝2kπ＋π (k∈Z)， π
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
2
12．如果复数(m＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( ) A．1 C.2 [答案] B
[解析] ∵(m＋i)(1＋mi)＝(m－m)＋(m＋1)i是实数，m∈R， ∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0， 得m＋1＝0，即m＝－1.
3＋i
13．(2011·南通调研)若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
i[答案]
17
3
2
2
3
2
B．－1 D．－2
3＋i
[解析] ∵z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
i∴|z|＝17.
- 4 -
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