1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为________． 2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________.
3．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)＝_____. →→→→→
4．在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·BC的值是________． 5．已知正三角形ABC的边长为1，求： →→→→(1)AB·AC；(2)AB·BC；
→→(3)BC·AC.
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
3．a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分． 4．求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为
2
a·ba·b，a在b方向上的投影为. |a||b|
2
5．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝a.
5 / 8
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 W＝|F||s|cos θ.
思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 梳理 (1)数量积 内积 (2)0 知识点二 思考 角．
梳理 (2)0°≤θ≤180° (3)0° 180° (4)90° 知识点三
→→
思考1 如图所示，OA＝a，OB＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ. |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．
思考2 由投影的定义知，二者不一定相同． 梳理 (3)b在a的方向上的投影|b|cos θ 知识点四
思考1 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量． 思考2 由两个非零向量的夹角决定．
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 题型探究
例1 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×
3
＝103. 2
6 / 8
32
跟踪训练1 a
2
125
例2 解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
22|a＋b|＝＝
a＋b2
＝|a|＋2a·b＋|b|
22
25
25＋2×＋25＝53.
2
|a－b|＝＝
a－b2
＝|a|－2a·b＋|b|
22
25
25－2×＋25＝5.
2
引申探究
125
解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝，
22|2a＋b|＝＝
2a＋b2
＝4|a|＋4a·b＋|b|
22
25
4×25＋4×＋25＝57.
2
|a－2b|＝＝
a－2b2
＝|a|－4a·b＋4|b|
22
25
25－4×＋4×25＝53.
2
2
2
2
跟踪训练2 解 |3a－2b|＝9|a|－12a·b＋4|b| ＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b， ∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25， ∴a·b＝25.
∴|3a＋b|＝(3a＋b)＝9a＋6a·b＋b ＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a＋b|＝20.
例3 解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， 11
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
22|a|＝|2m＋n|＝＝
2m＋n2
2
2
2
2
＝4×1＋1＋4m·n
1
4×1＋1＋4×＝7，
2
2n－3m2
|b|＝|2n－3m|＝＝
＝4×1＋9×1－12m·n
1
4×1＋9×1－12×＝7，
2
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
7 / 8
17＝－6×1＋2×1＝－. 22设a与b的夹角为θ，
a·b1则cos θ＝＝＝－.
|a||b|27×7
又∵θ∈[0，π]，
2π2π
∴θ＝，故a与b的夹角为. 33跟踪训练3 解 (1)∵|a|＝2|b|＝2， ∴|a|＝2，|b|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1， 1
∴cos θ＝－，
2
2π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
3
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b＝－1－2＝－3. (3)∵λa＋b与a－3b互相垂直， ∴(λa＋b)·(a－3b) ＝λa－3λa·b＋b·a－3b ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 4∴λ＝. 7当堂训练
1．－2 2.1 3.11 4.－25 1115．(1) (2)－ (3)
222
2
22
7
－2
8 / 8
相关推荐：
loading