课题：立体几何中的向量方法（一）总第个教案 课型：新授课 上课时间：年月日星期 教 学 目 标 .知识与技能 掌握空间中直线的方向向量、平面法向量的表示，并会用它们来判断直线与平面的位置关系。 .过程与方法 通过分析、推导让学生掌握空间中直线的方向向量、平面法向量的表示，会确定点的坐标，掌握空间中判断直线与平面的位置关系。 .情感、态度与价值观 通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。
教学重点 直线的方向向量、平面的法向量表示，直线与平面的位置关系。 教学难点 直线的方向向量、平面的法向量表示，直线与平面的位置关系。 教学方法 通过观察.类比.思考.交流和讨论等. 教学过程： 批注 活动一：创设情景、引入课题 （分钟） 问题：回忆上一节课学习过的内容：空间向量的那些内容？空间向量的加法、减法、数乘、数量积运算？ 问题：空间向量的基本定理？正交分解？ 问题：平面直角坐标系中的中点坐标表示？ 今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量运算的坐标表示并进行一些简单的应用． 点题：今天我们学习“立体几何中的向量方法”第一节课 活动二：师生交流、进入新知，（分钟） 问题：空间中，两条直线平行（或共线）的条件？ ???????空间任意两个向量a、b（b≠），ab的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 问题：如何确定一个点在空间的位置？在空间中给一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ 一、空间向量中的三种表示 、点的表示：在空间中任意一点可以由一个定点和一个位置向量来确定。 如下图：向量 OP称为点的位置向?aALBP量。 PO、直线的表示：空间中任意一条直线可以由一个定点和它的方向向量来确定（并且可以具体表示出直线上的任意一点），如上图：AP?tAB ??注：凡是与直线平行的向量都可以做直线的方向向量。 、平面的表示：空间中任意一个平面可以平面内的一定点和平面内两个不共线的向量确定（并且可以具体表示出平面内的任意一点）；还可以由平面内一定点和平面的一个法向量来确定 aPbOaAaa OP?xa?yb； 一点与向量a， 法向量：如果直线l?a，取直线l的方向向量????a，则向量a叫做平面的法向量。 ??注：凡是与平面垂直的向量都可以做平面的法向量。 问题：如果另有一条直线m?a，在直线上任取向量,向量与有什么关系？ 问题：立体几何中，直线与直线、直线与平面、平面与平面有几种位置关系？ 你能用直线的方向向量与平面的法向量来表示以上关系吗？ 、空间中直线、平面位置关系的向量表示： 设直线l的方向向量是平面?的法向量?a?(a,b,c)，直线m的方向向量是b?(a,b,c)， 111222?333444??u?(a,b,c)，平面?的法向量v?(a,b,c)， ，)＝(，，) l∥m?∥?(，∥α?·＝?＋＋＝ α∥β?∥?(，，)＝(，，) ⊥?·＝?＋＋＝. ⊥α?∥?＝?(，，)＝(，，)(∈)． α⊥β?⊥?·＝?＋＋＝. 练习：书本：、 活动三：合作学习、探究新知（分钟） 例：已知是直角梯形，∠＝°，⊥平面，＝＝＝，＝，试建立适当的坐标系． ()求平面与平面的一个法向量．()求平面的一个法向量． 【思路探究】 ()根据图形特点，如何建立坐标系更方便？()怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？ 【自主解答】 以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的坐标系，则()，()，()，(，)，()． ()∵⊥平面，∴＝()是平面的一个法向量． ∵⊥，⊥，∴⊥平面， ∴＝(，)是平面的一个法向量． ()在平面中，＝(，)，＝(，－)． 设平面的法向量是＝(，，)，则⊥，⊥. 所以(\\\\(·(,\\(→))＝·(,\\(→))＝，))(\\\\(()＋＝＋－＝.))∴(\\\\(＝－＝－，)) 得方程组令＝－得＝，＝，∴＝(，－)． 小结：求一个平面法向量的方法 ．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量． ．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： ()设出平面的法向量为＝(，，)． ()找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ＝(，，)，＝(，，)． ()根据法向量的定义建立关于，，的方程组(\\\\(·＝，·＝.)) ()解方程组，取其中的一个解，即得法向量． ．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组(\\\\(·＝，·＝))有无数多个解，只需给，，中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 补充练习： 正方体－中，、分别为棱、的中点，在如图－－所示的空间直角坐标系中，求：
面对着学习，你就要有毅力。因 图－－ ()平面的一个法向量．()平面的一个法向量． 【解】 设正方体－的棱长为，则()，()，()，()，() ()连，因为⊥平面，所以＝(－)为平面的一个法向量． ()＝()，＝()．设平面的一个法向量为＝(，，)． ∴(\\\\(·(,\\(→))＝·(,\\(→))＝，))令＝得＝－，＝－. ∴为你就如身在干旱的沙漠之中，没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时(\\\\(＋＝＋＝，))∴(\\\\(＝－＝－().))∴＝(，－)即为平面的一个法向量. 蒸发着的那一点微少的汗水，你在这活动四：归纳整理、提高认识（分钟） ．在空间中，如何表示一个点？一条直线？一个平面？ ．如何用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系？ 种地境里，不可以倒下，要坚强，要努力走出这个荒芜的沙漠，找回生存的希望，仅此无他。在学习的赛跑线上，你就应该有活动五：作业布置、提高巩固 1． 书面作业：补充 板书设计：用向量方法研究立体几何一 、空间中点、直线、平面的表示 例： 例： 、用向量表示直线与平面位置关系 、平面法向量的求法 教学后记： 着这不懈的精神，累了，渴了，你仍要坚持下去，因为终点就在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水，廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油！你会更出色！ 位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。 希望你一生平安，幸福，像燕雀般起步，像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始于足下。学习就是如此痛快，它能放松人的心灵，但必须是在热爱的基础上。瞧！学习就能带来如此奇妙的享受！ 学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实。踏踏实实的学吧！加油！成功属于努力的人！聪明出于勤奋，天才在于积累。 人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 生活中处处都有语文，更不缺少语文，而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富.
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