2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念和通项公式
课时过关·能力提升
1.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为
A.49 B.50 C.51
( )
D.52
解析:由已知可得an+1-an= ,∴数列{an}是首项为2,公差为 的等差数列,则an=2+ (n-1).
∴a101=2+ ×100=52.
答案:D 2.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13的值为( ) A.105 B.120 C.90 D.75
解析:由a1+a2+a3=15,得a2=5,所以a1+a3=10,a1a3=16,解得a1=2,a3=8或a1=8,a3=2.
又等差数列{an}的公差为正数,所以数列{an}是递增数列. 所以a1=2,a3=8,其公差d=a2-a1=5-2=3,
所以a11+a12+a13=(a1+10d)+(a2+10d)+(a3+10d)=(a1+a2+a3)+30d=15+30×3=105. 答案:A 3.{an}是首项a1=7,公差d=5的等差数列,若an=2 017,则序号n等于( ) A.400 B.401 C.402 D.403 解析:∵a1=7,d=5,
∴an=7+5(n-1)=5n+2.
令5n+2=2 017,解得n=403. 答案:D 4.设等差数列{an}的公差为d,若数列{ }为递减数列,则( ) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0
解析:因为数列{ }为递减数列,且y=2x是增函数,所以{a1an}是递减数列,
所以a1an+1-a1an=a1(an+1-an)=a1d<0. 答案:C 5.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为( ) A.7或-3 B.log37 C.log27 D.4 解析:∵log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,∴
-
,即22x-4·2x-21=0,解得2x=7或2x=-3(舍
-
去),∴x=log27.
答案:C 6.在等差数列{an}中,a1=70,d=-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A.a8 B.a9 C.a10 D.a11
解析:在等差数列{an}中,由a1=70,d=-9,得an=-9n+79,∴数列{an}是首项为正数的递减等差数列.
令-9n+79≥0,解得n≤ ,且a8=7,a9=-2,a10=-11,a11=-20,∴这个数列中绝对值最小的一项为a9. 答案:B 7.对于数列{an},若an=10-2n(n∈N+),且a1+a2+…+am=|a1|+|a2|+…+|am|,则正整数m的最大值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:由an=10-2n,得{an}为递减数列.
∵am=10-2m≥0,m∈N+,
∴1≤m≤5.∴m的最大值为5. 答案:B 8.等差数列{an}的图像是平行于x轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点,则数列{an}的公差d 0(填“>”“<”或“=”).
解析:由{an}是等差数列,知an=a1+(n-1)d=dn+a1-d.由其图像是平行于x轴的直线上的孤立的点,可知直线的斜率为0,故d=0. 答案:=
9.在数列{an}中,a1=1,对任意的n∈N+,有an+1=
解析:由an+1= ,得
故 是首项为1,公差为
所以 =1+(n-1)=n.
故=2 017.
=1,
,则=
.
1的等差数列,
答案:2 017 10.在数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列 是等差数列,则a11= .
解析:因为a3=2,a7=1,所以 .
设等差数列 的公差为
即 +4d,解得d= ,
d,则
+4d,
所以 +4d= ,解得a11= .
答案: ★11.(1)求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项.
(2)100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
解:(1)由a1=3,d=7-3=4,得当n=4时,a4=3+(4-1)×4=15;当n=10时,a10=3+(10-1)×4=39.
(2)是.由a1=2,d=9-2=7,得这个数列的通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100,解得n=15∈N+, 因此100是这个数列的第15项. ★12.在数列{an}中,a1=,an=2-
-
(n≥2,n∈N+),数列{bn}满足bn=
(n∈N+). -
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明:∵an=2- (n≥2,n∈N+),bn=
-
, -
∴当n≥2时,bn-bn-1=
=
-
- -
- - -
- -
=
-
- -
又
- - b1==- , -
=1.
∴数列{bn}是以- 为首项,1为公差的等差数列.
(2)解:由(1)知,bn=n- ,则an=1+ =1+
设函数
f(x)=1+,易知
-
. -
f(x)在区间 - 和 上是减少的.
故当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3.
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