高三数学参考答案
一、填空题 1．{1}
2．?1?i
3．
3 5
4．3?22 5．40 6．4
5122211
7．π 8． 9． 10． 11. 12．2?1 13．（21,24） 14．[344626－
31132，＋2] 242
二、解答题
15.（本小题满分14分）
解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，
APπ
所以有A＝B或A＋B＝． ………………… 2分 2π2ππ
又因为C＝，得A＋B＝，与A＋B＝矛盾，所以A＝B，
332π
因此A＝． …………………4分
3（2）由题设，得
在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；
在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)
BM60°αCND（第15题）
ππ2π
＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，).
333
……………… 6分
ππ
所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋3cosα＝23sin(α＋).
36
……………… 10分
2πππ5ππ1
因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，
366662π
即23sin(α＋)∈(3，23]．
6
πππ
于是，当α＋＝，即α＝时，PM＋PN取得最大值23．
623
…………… 14分
·5·
16．（1）证明：连接A1B，交AB1于点O, 连接OD. ∵O、D分别是A1B、BC的中点， ∴AC1∥OD． ???3分 ∵AC?平面AB1D，OD?平面AB1D， 1∴AC1∥平面AB1D． ???6分 （2）M为CC1的中点． ???7分 证明如下：
∵在正三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?BB1，∴四边形
B1C1A1AOBDCMBCC1B1是正方形．
∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴?B1BD??BCM， ???9分 ∴?BB1D??CBM，?BDB1??CMB． 又∵?BB1D??BDB1??2，
?CBM??BDB1??2，∴BM?B1D． ???11分
∵?ABC是正三角形，D是BC的中点， ∴AD?BC．
∵平面ABC?平面BB1C1C, 平面ABC?平面BB1C1C?BC，AD?平面ABC， ∴AD?平面BB1C1C． ∵BM?平面BB1C1C，
∴AD?BM． ???13分 ∵AD?B1D?D， ∴BM?平面AB1D． ∵AB1?平面AB1D，
·6·
∴MB?AB1． ???14分
18.（本小题满分16分）
c3
解（1）由题设可知a＝2，e＝＝，所以c＝3，故b＝1．
a2
因此，a＝2，b＝1． ………………… 2分（2）由（1）x22
可得，椭圆C的方程为 ＋y＝1．
4
设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）． (ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．
x－m??y＝2联立直线l与椭圆C的方程，即?x．将y消去，化简得 2
＋y＝1?4?
2(2m－1－m2)2(2m＋1－m2)522
x－2mx＋m－1＝0．解之得x1＝， x2＝， 455
4(m2－1)8m
从而有，x1＋x2＝， x1· x2＝，
55而y1＝x1－m，y2＝x2－m，
因此，∣AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2(x1+x2)2－4 x1·x2
＝
4
2·5－m2， 5
∣m∣
点O到直线l的距离d＝，
2
12
所以，S△OAB＝×|AB|×d＝ 5－m2×|m|，
25
445－m＋m2
因此，S△OAB＝( 5－m2)×m2≤·()＝1．
25252
2
22
………………… 6分
又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．
510
所以，当5－m＝m，即m＝， m＝±时，S△OAB取得最大值1．
22
222
………………… 8分
(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).
·7·
k(x－m)??y=2
将直线l与椭圆C的方程联立，即?x． 2
＋y＝1??4
将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，
4(k2m2－1)8mk2
x1＋x2＝，x·x＝ ．
1＋4k212 1＋4k2………………… 10分
所以，
3
PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2
4
m2·(－8k4－6k2＋2)＋(1＋4k2)·(8k2＋8)＝ （*）. …………………14分
(1＋4k2)2因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关， 1
所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±．
2
1
所以，k的值为±. …………………16分
219.解:（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),
对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,
f/(x)?2x?bb,?2??0,解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意； x?12/b2x2?2x?b?,又函数f(x)在定义域上是单调函数， （2）∵f(x)?2x?x?1x?1∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.
若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立, 即b≥-2x2 -2x = ?2(x?1121)?恒成立,由此得b≥;
222若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，
因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.
1综上所述，实数b的取值范围是?,????. ?2??（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，
13x3?(x?1)2??则h(x) = - 3x +2x - ， x?1x?1/
2
∴当x??0,???时，h/(x)＜0所以函数h(x)在x??0,???上是单调递减.
·8·
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