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江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初开学联考 数学

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又h(0)=0,∴当x??0,???时,恒有h(x) <h(0)=0,[ 即x2 – ln(x+1) <x3恒成立. 故当x??0,???时,有f(x) <x3.. ∵k?N?,?n1111??0,???,取x?,则有f()?3,

kkkk1111 ∴?f()<1?3?3?......?3,故结论成立。

k23nk?122

20解:(1)在S2n=3nan+Sn-1中分别令n=2,n=3,及a1=a得

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,

因an≠0,所以a2=12-2a,a3=3+2a. ????2分 因数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3.?4分 3n(n+1)3n(n-1)2经检验a=3时,an=3n,Sn=,Sn-1=满足S2=3n2an+Sn-n1. 22

222222(2)由S2n=3nan+Sn-1,得Sn-Sn-1=3nan,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3nan,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为an≠0,所以Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① ??6分 所以Sn+1+Sn=3(n+1)2,②

②-①,得an+1+an=6n+3,(n≥2).③ ????8分 所以an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得an+2-an=6,(n≥2)

即数列a2,a4,a6,?,及数列a3,a5,a7,?都是公差为6的等差数列, ???10分 因为a2=12-2a,a3=3+2a.

??a,n=1,

所以an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ????12分

??3n-2a+6,n为偶数,

要使数列{an}是递增数列,须有

a1<a2,且当n为大于或等于3的奇数时,an<an+1,且当n为偶数时,an<an+1, 即a<12-2a,

3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n为大于或等于3的奇数), 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n为偶数),

915915

解得<a<.所以M=(,),当a∈M时,数列{an}是递增数列. ???16分

4444综上所述,对任意正整数c,存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p,使得

·9·

ap=c. ………………… 16分

·10·

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