专题03 三角函数、解三角形综合问题
1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-5,-5). (1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=13,求cos β的值. 解:(1)由角α的终边过点P(-5,-5), 得sinα=-5,所以sin(α+π)=-sinα=5. (2)由角α的终边过点P(-,-),得cosα=-,
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由sin(α+β)=13,得cos(α+β)=±13.
由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, 所以cosβ=-65或cosβ=65. 2.在平面四边形ABCD中，?ADC?90，?A?45，AB?2，BD?5. （1）求cos?ADB； （2）若DC?22，求BC.
解：（1）在△ABD中，由正弦定理得由题设知，
BDAB. ?sin?Asin?ADB56
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252，所以sin?ADB?. ?5sin45?sin?ADB由题设知，?ADB?90?，所以cos?ADB?1?223?. 2552. 5（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得
BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC
?25?8?2?5?22?2?25. 所以BC?5. 5
3.(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
解:(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.① 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA.② 由①②得cosA=-2.因为0 由 正 弦 定 理 及 (1), 得 =sin??=sin??sin?? π???? ???? ???? 1 2π =2√3,从而 AC=2√3sinB,AB=2√3sin(π-A-B)=3cosB-√3sinB. 故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB=3+2√3sin(??+3). 又0 (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 解:(1)由题设得2acsinB=3sin??,即2csinB=3sin??. 由正弦定理得2sinCsinB=3sin??.故sinBsinC=3. (2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-2, 即cos(B+C)=-2.所以B+C=3,故A=3. 由题设得2bcsinA=3sin??,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33. 5.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（?，-）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= 1 ??2 1 2π π 1 1 sin?? 2 1 ??2 1 ?? ??23sin?? π π . 35455，求cosβ的值． 13解：（Ⅰ）由角?的终边过点P(?,?)得sin???所以sin(??π)??sin??35454， 54. 5343（Ⅱ）由角?的终边过点P(?,?)得cos???， 555512. 由sin(???)?得cos(???)??1313 由??(???)??得cos??cos(???)cos??sin(???)sin?， 所以cos???5616. 或cos???6565π π 6.已知函数f(x)=4tan xsin(2-??)cos(??-3)?√3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间[-4,4]上的单调性. 解:(1)f(x)的定义域为{??|??≠2+??π,??∈Z}. f(x)=4tanxcosxcos(??-3)?√3 =4sinxcos(??-3)?√3 =4sinx(2cos??+ 1 √3sin??)2π π π ππ ?√3 π =2sinxcosx+2√3sin2x-√3=sin2x+√3(1-cos2x)-√3=sin2x-√3cos2x=2sin(2??-3), 所以,f(x)的最小正周期T=2=π. (2)令z=2x-3,函数y=2sinz的单调递增区间是[-2+2??π,2+2??π],k∈Z.由-2+2kπ≤2x-3≤2+2kπ,得-π12 π π π π π π 2π +kπ≤x≤ π π 5π12 +kπ,k∈Z.设A=[-4,4],B={??|-12+??π≤??≤ ππ π π πππ5π12π +??π,??∈Z},易知 π A∩B=[-12,4].所以,当x∈[-4,4]时,f(x)在区间[-12,4]上单调递增,在区间[-4,-12]上单调递减. 7.已知函数f(x)=√3acos2 ????2 +2asin ωx-2a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为 1√3图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)= 8√3,且x0∈5 (- 1023 ,3),求f(x0+1)的值. 1 π 解:(1)由已知可得f(x)=a(2cos????+2sin????)=asin(????+3). √3∵BC=2=4,∴T=8,∴ω=8=4. 由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=2BC=2√3. √3??2ππ
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