又因为∠BAD=60°, 所以∠ADC=120°. 所以点P的轨迹是球的,
所以几何体的体积为V=××13=. 答案: 三、解答题
14.(2018·宁波5月模拟)如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,∠C= 60°,点E在线段CD上,满足BE⊥CD,且CE=AB=CD=2,现将△ADE沿AE翻折到AME位置,使得MC=2
.
(1)证明:AE⊥MB;
(2)求直线CM与平面AME所成角的正弦值. (1)证明:连接BD交AE于点N, 所以BE=2×tan 60°=2. 所以BD=
=4.
因为BE⊥CD,∠C=60°,且CE=CD=2, 所以BC=4,CD=8. 因为BC2+BD2=CD2,
所以BC⊥BD,
又BC∥AE,所以AE⊥BD. 从而AE⊥BN,AE⊥MN, 所以AE⊥平面MNB. 所以AE⊥MB. (2)
解
:
由
MB
⊥
平
面
ABCE,
如
系,A(0,2,0),C(2,-2,0),E(2,0,0),M(0,0,2),
则
=(0,-2,2),=(2,-2,0),
=(2,-2,-2).
设平面AME的法向量为m=(x,y,z),
由可取m=(,,1),
所以sin θ=cos
巩固提高B
一、选择题
1. 边长为a的菱形ABCD中锐角A=θ,现沿对角线BD折成60°的二面角翻折后|AC|=a,则锐角A是( C )
(A) (B) (C) (D)
图
建
,
解析:取BD的中点O,连接OC,OA,则∠COA为二面角CBDA的平面角,即∠COA=60°,
因为|AC|=a,所以|AO|=a. 因为菱形ABCD中AD=a,所以∠ADB=, 所以∠A=.故选C.
2. 如图,动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是( B )
解析:设正方体的棱长为1,显然,当P移动到对角线BD1的中点O时,y=MN=AC=取得唯一最大值,所以排除A,C;当P在BO上时,分别过M,N,P作底面的垂线,垂足分别为M1,N1,P1,则y=MN=M1N1=2BP1=2·xcos∠D1BD=
x.故选B.
3. 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上移动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围为( A )
(A)( 0,］ (B)(0, ］ (C)[0, ］ (D)(0,)
解析:因为A1B∥D1C,所以CP与A1B所成角可化为CP与D1C所成角. 因为△AD1C是正三角形,可知当P与A重合时所成角为,因为P不能与D1重合,此时D1C与A1B平行而不是异面直线,所以0<θ≤,故选A. 4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为CD的中点,F为线段CE(端点除外)上一动点,现将△DAF沿AF折起,使得平面ABD⊥平面ABC,设直线FD与平面ABCF所成角为θ,则sin θ的最大值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图:在矩形ABCD中,过点D作AF的垂线交AF于点O,交AB于点M,设CF=x(0
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