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初二数学经典题型
1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15．求证：△PBC是正三角形． 证明如下。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。 ＝∠F． 证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM. 又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 点P到边AB的距离等于AB的一半． 证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N， 在梯形MEFN中，WE平行NF 因为P为EF中点，PQ平行于两底 所以PQ为梯形MEFN中位线， 所以PQ＝（ME＋NF）/2 又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B＝角Rt＝角BNF CB=BF
所以△OCB全等于△NBF △MEA全等于△OAC（同理） 所以EM＝AO，0B＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB． 过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE 因为DP//AE，AD//PE
所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP 所以，A、E、B、P四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC
页脚内容
B A P C D A E D G C P Q B F A M B N C D ，点P是EF的中点．求证：3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFGE C B 2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN
F A P D 那么∠
0
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所以，PE//BC，且PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
?解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因为四边形DCBA是正方形 所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90° 即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形 所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a 所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90° 所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ 则△BPM是等腰直角三角形 所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2 所以AB＝[√(5＋2√2)]a 6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。 B C P A D vv??t 2x8x5v解之得：x? 8t5v经检验得：x?是原方程解。 8t5v5v∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。
8t2t由题意得：7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值． 页脚内容
...
y??y解：（1）设正比例函数解析式为y?kx，将点M（?2，?1）坐标代入得k=（2）当点Q在直线DO上运动时， M2同样可得，反比例函数解析式为y=
AOxxBQ11，所以正比例函数解析式为y=x
22QBAOxM1设点Q的坐标为Q(m，m)， 2P1111于是S△OBQ=图OB?BQ创mm=m2，
22241而S△OAP=(-1)?(2)=1，
212所以有，m=1，解得m??2
41)和Q2(-2，-1) 所以点Q的坐标为Q1(2，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
CP图
而点P（?1，?2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n，)， 由勾股定理可得OQ所以当(n-22n=n2+422=(n-)+4， 2nn222)=0即n-=0时，OQ2有最小值4，
nn2又因为OQ为正值，所以OQ与OQ同时取得最小值， 所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°. ∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）. ∴PB=PD，∠PBC=∠PDC. 又∵PB=PE， ∴PE=PD.
②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， ∵PB=PE，
...
A D
P 1 H 2 B C E
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∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴PE⊥PD.）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴∠DPE=∠DCE=90°， ∴PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.
（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE. ∵AP=x，AC=2， ∴PC=2-x，PF=FC=22(2?x)?1?22x. BF=FE=1-FC=1-(1?22x)=22x. ∴S△PBE=BF·PF=22x(1?22x)??122x2?2x. 即y??12x2?22x(0＜x＜2). ②y??12x2?22x??12212(x?2)?4. ∵a??12＜0， ∴当x?22时，y最大值?14. （1）证法二：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示. ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， △AGP和△PFC都是等腰直角三角形. ∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°. 又∵PB=PE， ∴BF=FE， ∴GP=FE， ∴△EFP≌△PGD（SAS）. ∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴∠DPE=90°. ∴PE⊥PD. （2）①∵AP=x， ∴BF=PG=
22x，PF=1-22x.
∴S△PBE=BF·PF=22x(1?2122x)??2x2?2x. 页脚内容
A D P B F E C A G 3 2 D P 1 B F E C ...
即y??②y??122x?x(0＜x＜2). 221221221x?x??(x?)?. 222241∵a??＜0， 2∴当x?21时，y最大值?. 249、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值．
（2）直接写出k1x+b-k2x＞0时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
10、如图12，已知直线y?（1）求k的值； （2）若双曲线y?1kx与双曲线y?(k?0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4． 2xk(k?0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积； xk(k?0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Qx（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y?为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
图12
...
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