[教学设计?高中数学]
《反证法》教学设计
姓 名： 赵钊 学 校： 西安市铁一中学 区 县： 碑林区 联系方式： 18991108796 地 址： 友谊东路120号 邮 编： 710054
《反证法》教学设计 陕西省西安市铁一中学 赵钊
第一部分：教学内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.
“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用
第二部分：学生学情诊断
学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置
(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。
核心素养：逻辑推理能力
第四部分：重点难点分析
重点： 1、理解反证法的概念。
2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤。 3、用反证法证明简单的命题。
难点：1、理解反设、归谬、结论过程中，哪些条件是假设，那些条件是结论。
2、运用反证法解决实际问题过程中的思维延伸。
第五部分：教学策略分析
通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.
在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.
第六部分：教学过程
情景引入 → 新知建构
→ 典例分析 → 数学应用 →
1.情景引入
（PPT播放） 问题：
警察局有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里只有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．
若你是警察，你觉得谁说了真话？该释放谁？
课堂小结
→ 提升练习
（设计意图：由问题情景导入，激发学生的兴趣，给学生充分酝酿感受思考的时间. 通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。）
学生活动：小组讨论，首先确定方案的小组，选取代表发言。
老师活动：点评学生回答，提出直接判断的困难所在，引出间接判断的思想方法。 2.新知建构
上节课我们学习了用综合法、分析法等直接证明问题的方法。但是有的问题要么显然成立、要么分成多种情况解决、要么正面解决时，没有合理的操作方案，总之要解决这类问题正面解决起来，会遇到比较大的困难的问题，我们常用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。
（1）反证法的定义：
反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
（2）反证法的解题步骤：
①．假设原命题的结论不成立；（反设）
②．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） ③．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） （3）反证法的理论依据：
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
“矛盾律”：在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的。
“排中律”：两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”一个为真，一个为假。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。 3.典例分析：
例1、已知：a1?a2?a3?a4?100,求证：a1,a2,a3,a4中，至少有一个数大于25. 【设计意图】本例是一个规范的例题，不仅条件和问题简单，而且在锻炼学生解题格式方面，有非常好的导向作用，也能够印证出反证法重点解决的是正难则反的问题，这一基本原则。 【题目分析】由于条件中只有a1,a2,a3,a4的一个不等关系，要证明某一个数字的属性，正面分析太过困难，所以选取间接证明的方法。找到“a1,a2,a3,a4至少有一个数大于25”的反面，推理得到a1?a2?a3?a4与100的大小关系即可
【题目解析】证明：假设a1?25,a2?25,a3?25,a4?25，即a1?a2?a3?a4?100，这与
a3?25,a4?25题中a1?a2?a3?a4?100矛盾，故原假设a1?25,a2?25,不成立，即
a1,a2,a3,a4至少有一个数大于25.
【练习】已知a=x2?2y??,b?y2?2z??,c?z2?2x??，求证：a,b,c中至少有一个大于0.
236例2、求证：2是无理数.
【设计意图】本例是一个典型的使用反证法证明的问题，本例的难点是学生对无理数的了解
很少，有理数的性质也接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位
【题目分析】由于无理数是个生成性概念，它是实数范畴内有理数的对立面。如果正面去验证2是无理数难以操作，但如果证明出2不是有理数，就可以说明它是无理数。而根据
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