(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10.2用样本估计总体练习新人教B版

（新课改地区）2021版高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10.2用样本估计总体练习新人教版10.2 用样本估计总体

核心考点·精准研析

考点一 茎叶图

1.(2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为 ( )

**······**

A.3,5

B.5,5

C.3,7

D.5,7

2.(2020·济南模拟)山东电视台“国学小名士”的播出引发了学校的国学热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“国学达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“国学能手”的称号,其他学生得到“国学爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样,抽选10名学生,则抽选的学生中获得“国学达人”称号的人数为 ( )

**······**

A.2

B.4

C.5

D.6

3.重庆市2019年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图,则这组数据的中位数是________.

4.空气质量指数(简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0～50为优;51～100为良;101～150为轻度污染;151～200为中度污染;201～300为重度污染;大于300为严重污染.从某地一环保人士某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎

1

叶图记录如图.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为________(该年为365天). **······**

【解析】1.选A.由题意,甲组数据为56,62,65,70+x,74,乙组数据为59,61,67, 60+y,78,要使两组数据的中位数相等,有65=60+y,所以y=5,又平均数相同,则

=

x=3.

**······**,解得

2.选A.由茎叶图可得,获“国学达人”称号的有8人,据该次比赛的成绩按照称号的不同进

行分层抽样,抽选10名学生,则抽选的学生中获得“国学达人”称号的人数为8×=2.

**······**3.由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,所以中位

数为答案:20

=20.

**······**4.该样本中AQI大于100的频数是4,频率为,

由此估计此地该年AQI大于100的频率为,

估计此地该年AQI大于100的天数约为365×=146. 答案:146

题3中茎叶图不变,那么这组数据的众数是______,平均数是______.(保留整数) 【解析】所给数据中20,23都出现了两次,是出现次数最多的数,所以众数是20,23;

2

平均数是

=

≈20. 答案:20,23 20

1.茎叶图的三个关注点

(1)“叶”的位置只有一个数字,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一. (2)重复出现的数据要重复记录,不能遗漏.

(3)给定两组数据的茎叶图,估计数字特征,茎上的数字由小到大排列,一般“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小.

**······**2.利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征,准确从中提炼信息. 在使用茎叶图时,一定要注意看清楚所有的样本数据,弄清楚这个图中的数字特点,不要漏掉了数据,也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.

**······**考点二 频率分布直方图

【典例】(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图频率分布直方图:

**······**

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率.

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数. (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【解题导思】

**······** 3

序号 (1) 由频率估计概率 联想解题 样本中分数在区间[40,50)内的人数与总体中分数在区间[40,50)内(2) 的人数各自的占比相等 按分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例等于样本中男生和(3) 女生人数的比例 【解析】(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,

**······**所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.

所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,

**······分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人

数估计为400×=20.

**······**(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,

所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30.

所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.

1.频率、频数、样本容量的计算方法

**······**(1)×组距=频率.

(2)=频率,=样本容量,样本容量×频率=频数.

2.频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,这是解题的关键,通过频率分布直方图可以估计总体分布.

【易错警示】频率分布直方图的纵坐标是

,而不是频率,切莫与条形图混淆.

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(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图直方图:

**······**

记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值.

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 考点三 平均数、方差、标准差

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