(1)证明:AM⊥平面BCD;
(2)若点F为线段BE的中点,且三棱锥F-BCD的体积为1,求CD的长度。
20.(本题满分12分)已知抛物线C:x2=2y,过点(0,2)作直线l交抛物线于A、B两点。 (1)证明:OA⊥OB;
(2)若直线l的斜率为1,过点A、B分别作抛物线的切线l1,l2,若直线l1,l2,相交于点P,直线l1,l2交x轴分别于点M,N,求△MNP的外接圆的方程。 21.(本题满分12分)已知函数f(x)?a2x?x?lnx。 xa的根的个数。 2(1)若函数f(x)在定义域内是增函数,求实数a的取值范围; (2)当a∈[1,e)时,求方程f(x)?ax?(二)选考题:10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做第一题计分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题满分10分)
?2x??t??2在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为?(其中t为参数)。以坐标原点O为?y?2?2t??2极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。 (1)写出直线C1的极坐标方程;
ON(2)设动直线l:y=kx(k>0)与C1,C2分别交于点M、N,求的最大值。
OM23.[选修4-5:不等式选讲](本题满分10分) 已知函数f(x)=|x-2|。
(1)求不等式f(x)≤2x+5的解集;
(2)已知a>0,记函数g(x)=f(x+1)-f(-x+5),且g(x)的最大值为M,求证:Ma?
1?3。 a2永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
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数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号 答案
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上. 13.2
1 B 2 C 3 B 4 D 5 B 6 D 7 B 8 A 9 C 10 C 11 A 12 D 114.?
9 15.4141? 6 16.
2020 2021三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 解:(1)Q S?BCD?1BD?BC?sinB 2 ?BC?4 …………………………………………………………………… 3分 在?BCD中,由余弦定理可得 CD2?BC2?BD2?2?BC?BD?cosB
? CD?23 ………………………………………………………………… 6分 (2)Q?BCD??BCA??DCA
?sin?BCD?sin?BCAcos?DCA?cos?BCAsin?DCA ……………… 8分 Q cos?BCA?5310,cos?DCA? 510510?sin?BCA?25,sin?DCA?10,………………………………………9分
? sin?BCD?2 ………………………………………………………… 10分 2在?BCD中,由正弦定理可得
CDBD, ?sinBsin?BCD? CD?BD?sinB?6 ………………………………………………………12分
sin?BCD18.(本小题满分12分)
解:(1)消费不低于1000元的共有0.025?2?100=5 人, ……………………………1分
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其中女职工3人设为A,B,C,男职工2人,设为a,b.从5名职工中选取3名职工的可能情况如下:
(A,B,C),(A,B,a),(A,B,b),(A,C,a),(A,C,b),(B,C,a),(B,C,b)(A,a,b),(B,a,b),(C,a,b)共10种情况.………………3分 其中至少有两名女职工包括7种情况. …………………………………………4分 所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率P?(2)应抽取男职工:1000? 男 女 7 . …………6分 10120800=60 人,抽取女职工:100?=40人, 20002000理性购物者 购物狂 合计 48 22 12 18 30 60 40 100 合计 70 ………………………………………………………………8分
(注:按表格前两行,一行数据全对时得1分)
(48?18?22?12)2?100k??7.143, …………………………………………10分
60?40?70?30因为7.143?6.635
所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. ………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(1)QDC?平面ABC,AM?平面ABC,
?AM?DC ………………………………………………………………………1分
?在?ABC中,AB?AC,AB?4,AC?3,
?BC?5
?12?9?CM???AC2?CM2?AM23?5??3 ?得由cos?ACM?6CM52AC?CM522?CM?……………………………………………………………………………3分
222?AM?CM?AC
95?AM?CM,即AM?BC………………………………………………………5分
?BCIDC?C,BC?平面BCD,CD?平面BCD
?AM?平面BCD…………………………………………………………………6分
(2)取AB的中点N,BM的中点P,连接FN,PN,
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?PN//AM,PN?AM?, ……………………………………………7分
1265?点F为线段BE中点,
?FN//EA. ………………………………………………………………………8分 ?DC?平面ABC, EA?平面ABC,
?DC//EA,DC?BC,…………………………………………………………9分 ?FN//DC.
?FN?平面BCD,DC?平面BCD ?FN//平面BCD
?点F到平面BCD的距离等于点N到平面BCD的距离 …………………10分
?AM?平面BCD, ?PN?平面BCD.
设CD?a,则V三棱锥F?BCD?116??5a??1 325?a?1,即CD长为1. …………………………………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(1)显然直线l的斜率存在,设直线l:y?kx?2,设A(x1,y1),B(x2,y2)
?y?kx?22 联立?2得x?2kx?4?0,……………………………………………2分
?x?2y2 ? ??4k?16?0,x1?x2?2k,x1x2??4 ………………………………3分
uuuruuur12 ? OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(x1x2)?0,……………………………4分
4 ? OA?OB …………………………………………………………………5分 (2)Q k?1
? x1?x2?2,x1x2??4
Q y??x ?切线l1:y?y1?x1(x?x1)即y?x1x? 同理可得切线l2:y?x2x?12x1 212x2 ……………………………………………6分 211 令y?0,则M(x1,0),N(x2,0)
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