(1)证明：AM⊥平面BCD；
(2)若点F为线段BE的中点，且三棱锥F－BCD的体积为1，求CD的长度。
20.(本题满分12分)已知抛物线C：x2＝2y，过点(0，2)作直线l交抛物线于A、B两点。 (1)证明：OA⊥OB；
(2)若直线l的斜率为1，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，若直线l1，l2，相交于点P，直线l1，l2交x轴分别于点M，N，求△MNP的外接圆的方程。 21.(本题满分12分)已知函数f(x)?a2x?x?lnx。 xa的根的个数。 2(1)若函数f(x)在定义域内是增函数，求实数a的取值范围； (2)当a∈[1，e)时，求方程f(x)?ax?(二)选考题：10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。 22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本题满分10分)
?2x??t??2在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为?(其中t为参数)。以坐标原点O为?y?2?2t??2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。 (1)写出直线C1的极坐标方程；
ON(2)设动直线l：y＝kx(k>0)与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值。
OM23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分) 已知函数f(x)＝|x－2|。
(1)求不等式f(x)≤2x＋5的解集；
(2)已知a>0，记函数g(x)＝f(x＋1)－f(－x＋5)，且g(x)的最大值为M，求证：Ma?
1?3。 a2永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
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数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 答案
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上. 13．2
1 B 2 C 3 B 4 D 5 B 6 D 7 B 8 A 9 C 10 C 11 A 12 D 114．?
9 15．4141? 6 16．
2020 2021三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解：（1）Q S?BCD?1BD?BC?sinB 2 ?BC?4 …………………………………………………………………… 3分 在?BCD中，由余弦定理可得 CD2?BC2?BD2?2?BC?BD?cosB
? CD?23 ………………………………………………………………… 6分 （2）Q?BCD??BCA??DCA
?sin?BCD?sin?BCAcos?DCA?cos?BCAsin?DCA ……………… 8分 Q cos?BCA?5310，cos?DCA? 510510?sin?BCA?25，sin?DCA?10，………………………………………9分
? sin?BCD?2 ………………………………………………………… 10分 2在?BCD中，由正弦定理可得
CDBD， ?sinBsin?BCD? CD?BD?sinB?6 ………………………………………………………12分
sin?BCD18．（本小题满分12分）
解：（1）消费不低于1000元的共有0.025?2?100=5 人， ……………………………1分
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其中女职工3人设为A,B,C，男职工2人，设为a,b.从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：
（A,B,C），（A,B,a），（A,B,b），（A,C,a），（A,C,b），（B,C,a），（B,C,b）（A,a,b），（B,a,b），（C,a,b）共10种情况.………………3分 其中至少有两名女职工包括7种情况. …………………………………………4分 所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率P?（2）应抽取男职工：1000? 男 女 7 . …………6分 10120800=60 人，抽取女职工：100?=40人， 20002000理性购物者 购物狂 合计 48 22 12 18 30 60 40 100 合计 70 ………………………………………………………………8分
（注：按表格前两行，一行数据全对时得1分）
(48?18?22?12)2?100k??7.143， …………………………………………10分
60?40?70?30因为7.143?6.635
所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. ………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）QDC?平面ABC，AM?平面ABC，
?AM?DC ………………………………………………………………………1分
?在?ABC中，AB?AC，AB?4，AC?3，
?BC?5
?12?9?CM???AC2?CM2?AM23?5??3 ?得由cos?ACM?6CM52AC?CM522?CM?……………………………………………………………………………3分
222?AM?CM?AC
95?AM?CM，即AM?BC………………………………………………………5分
?BCIDC?C，BC?平面BCD，CD?平面BCD
?AM?平面BCD…………………………………………………………………6分
（2）取AB的中点N，BM的中点P,连接FN，PN,
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?PN//AM，PN?AM?， ……………………………………………7分
1265?点F为线段BE中点，
?FN//EA. ………………………………………………………………………8分 ?DC?平面ABC， EA?平面ABC，
?DC//EA，DC?BC，…………………………………………………………9分 ?FN//DC.
?FN?平面BCD，DC?平面BCD ?FN//平面BCD
?点F到平面BCD的距离等于点N到平面BCD的距离 …………………10分
?AM?平面BCD， ?PN?平面BCD.
设CD?a，则V三棱锥F?BCD?116??5a??1 325?a?1，即CD长为1. …………………………………………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）显然直线l的斜率存在，设直线l：y?kx?2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)
?y?kx?22 联立?2得x?2kx?4?0，……………………………………………2分
?x?2y2 ? ??4k?16?0，x1?x2?2k，x1x2??4 ………………………………3分
uuuruuur12 ? OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(x1x2)?0，……………………………4分
4 ? OA?OB …………………………………………………………………5分 （2）Q k?1
? x1?x2?2，x1x2??4
Q y??x ?切线l1：y?y1?x1(x?x1)即y?x1x? 同理可得切线l2：y?x2x?12x1 212x2 ……………………………………………6分 211 令y?0，则M(x1,0)，N(x2,0)
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