12?y?xx?x11??2 联立?得,点P(1,?2) ……………………………………………8分
1?y?xx?x222??2设?MNP的外接圆的方程为:x2?y2?Dx?Ey?F?0 令y?0,则x2?Dx?F?0
111? 由韦达定理可得x1+x2??D,x1x2?F, ………………………10分
224? D??1,F??1且5?D?2E?F?0 ? E?3 ,………………………………………………………………………11分 22231??3?29?22则圆的方程为:x?y?x?y?1?0即?x????y???, …12分
22416????
21.(本小题满分12分) 解:(1)定义域:(0,??)
1ax2?x?1?0在x?(0,??)时恒成立,………1分 由题意知f?(x)?ax?1+=xx即ax2?x?1?0在x?(0,??)时恒成立,………………………………………2分 所以x?(0,??)时,a?? 由于y??x?1? ……………………………………………3分 2??x?maxx?111112111,所以……………………5分 ????(?)??a?22xxxx2444aa2a=x?ax?x+lnx? 222(2)设g(x)?f(x)?ax?1ax2?(a?1)x?1(ax?1)(x?1)g?(x)?ax?a?1???,…………………6分
xxx①当a?1时,g?(x)?0,g(x)在?0,???是单调递增,
Qg?1???1?0,g?4??ln4?1?0, 2a只有一个根. ……8分 2所以存在唯一的x0??1,4?使g?x0??0,即方程f(x)?ax?②当a?(1,e)时,则0?11?1,令g?(x)?0,有x?或x?1. aa所以g(x)在(0,)上是增函数,在(,+?)上是增函数 1)上是减函数,在(1,1a1a
- 9 -
111aa1g(x)的极大值为g()??1??lna????lna?1.……………9分
a2aa222a设h(a)?a1??lna?1,其中a?(1,e) 22a111(a?1)2则h?(a)?+2???0
22aa2a2所以h(a)在a?(1,e)上是增函数, 所以h(a)?h(e)?e11??2?0,即g()?0, 22ea所以g?x?在?0,1?上无零点.………………………………………………………10分 又g(1)=?1<0,g(4)=所以g(1)?g(4)?0,
又y?g(x)在(1,+?)单调递增,所以存在唯一的x0??1,4?使g?x0??0. 即方程f(x)?ax?9a91?4?ln4??4+ln4?ln4??0, 222a只有一个根.…………………………………………………11分 2综上所述,当a?[1,e)时,方程f(x)?ax?22.(本小题满分10分)
a有且只有一个根. ……………12分 2解:(1)直线C1的直角坐标方程为x?y?2?0, ……………………………………2分
将x??cos?,y??sin?代入方程得
??sin???cos??2 ,即?sin(??)?2. ……………………………5分
4(2)依题意可设直线l的极坐标方程为?=?(0<),
2设M(?1,?),N(?2,?), …………………………………………………………6分
?ON?22sin?sin(??4)2?1则==?sin(2??)?, ……………………8分 OM?12422由0?????2,有??4?2???4?3?,……………………………………………9分 4当sin(2???4)=1时,
ON2+1. ……………………………10分 的最大值为OM223.(本小题满分10分)
解:(1)当x?2时,原不等式即x?2?2x?5,解得x?2; …………………………2分
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当x?2时,原不等式即2?x?2x?5,解得?1?x?2, ……………………4分
?不等式f(x)?2x?5的解集为??1,???. ……………………………………5分
(2)Qg(x)?f(x?1)?f(?x?5)?x?1??x?3?x?1?x?3?2………………7分
(当且仅当x?3时等号成立)
?M?2
?Ma?11113a?a??2a??a?a??3?3. ……………………………9分 a2a2a2a2当且仅当a?
1,即a?1时等号成立.…………………………………………10分 2a
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