∴ 是直角三角形,∵ , ,
∴ .
∵ 、 分别是 、 的中点,
∴ 为 的中点,∴ .
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．
经典例题3.如图,在梯形
的面积相等．求证：
中, ,
.
,梯形 的面积与梯形
分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．
证明：延长 、 使它们相交于 点,
∵ ,
∴
∴
.
同理,
∵
故得
∴ 此题仅做参考
3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．
经典例题4.如图,在梯形 中,.求证：.
分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题. 证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.
∵ ,
∴ .
又 ,
∴ ≌ .
∴
4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．
经典例题5.如图,等腰梯形高,
是中位线,求证：
中,
．
, ,且 , 是
分析：由梯形中位线性质得 ,欲证 ,只要证
．过
和
移到三角形
点作 ,交 的延长线于 ,就可以把 、
中,再证明等式成立就简单多了．
证明：过 点作 ,
交 的延长线于点 ,则四边形 是平行四边形．∴
∵ 四边形 是等腰梯形,
∴ ,∴
又∵ ,∴ ,
∴ , ∴ .
∵ ,
∴
又∵ ,∴ .
经典例题6.已知：如图,在梯形梯形.
中, .求证：梯形 是等腰
证明：过D作 ,交BA延长线于E.则四边形 是平行四边形.
∴.
∴
又 ,
∴
于是,可得
∴
∴梯形ABCD是等腰梯形.
5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．
经典例题7.已知：如图4,在梯形证：
.
中, 是 的中点,且 .求
证明：取 的中点F,连结FE.则
∵
,
∴.
∴.
经典例题8.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD＋BC=DC , 求证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．
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