式中z(t)——x(t)的解析信号。
R(t，τ)=z(t+τ2)z*(t?τ2)为瞬时相关函数，由式(2-6)可以看出信号x(t)的Winger-Ville分布就是其瞬时相关函数的傅立叶变换。
如果离散解析信号z (n)具有长度2L+1，则离散Winger-Ville分布定义为
Winger-Ville分布在时间和频率上具有很高的分辨率[103,104]，但是它也有一个缺陷，当分析多分量信号时，在时频平面上产生严重的交叉项。交叉项使得利用时频分布解释信号变得很困难[105,106]。
考虑一个有两个分量组成的信号x(t)x(t)12+，其Wigner-Ville分布为
从该式中可以看出，除了两个分量的自项外，还存在一个交叉项，可以证明两个自项的交叉项在时频平面上出现在它们的中间位置，即对于多成分信号其Wigner-Ville分布并不是各自Wigner-Ville分布的叠加，它会由于各成分的交互干扰作用引入交叉项造成解释上的困难。造成交叉项的原因是Wigner-Ville分布的时频表示不是线性变换，而是对二次函数
的变换。
2.3.2模糊函数与Cohen类时频分布
信号x(t)的模糊函数定义为
式中z(t)——x(t)的解析信号。
对比模糊函数和Wigner-Ville分布知，它们都是瞬时相关函数R(t,τ)的某种变换，后者变换到时频平面，表示能量分布，称为能量域；而前者则变换到时延-频变平面，表示相关，称为相关域。模糊函数表示相关，Wigner-Ville分布表示能量分布，模糊函数和Wigner-Ville分布存在着密切联系。
关系表达式为
上式表明Wigner-Ville分布是模糊函数的二维Fourier变换。图2-9表示的是WVD和模糊函数(AF)各自互项与自项的位置及它们互项间的关系。AF的互项对应WVD的互项(即交叉项)，且AF的互项远离(v,τ)平面的原点；AF的自项对应WVD的自项。Cohen发现众多的时频分布只是Wigner-Ville分布的变形，可以用统一的形式表示。
信号x(t)的时频分布一般形式为
给定不同的核函数g(τ,v，就可以得到不同形式的时频分布。例如g(τ,v)=1时，Cohen类分布变为Wigner-Ville分布，也就是说，Wigner-Ville分布是Cohen类的成员，且是最简单
的一种。
图2-9同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图
Figure 2-9 The diagram of auto-term and cross-term for AF and WVD of the same signal
2.3.3交叉项的抑制
通过前面的讨论和图2-9可以看出WVD中的交叉项存在的原因。g(τ,v)=1，这意味着该核函数是(τ,v)平面的二维全通函数。(τ,v)平面模糊函数的互项对应WVD的互项(即交叉项)，且AF的互项远离(τ,v)平面的原点。由于Wigner-Ville分布的g(τ,v)是全通函数，它对AF的互项无抑制作用，因此，其WVD也就存在着较大的交叉项。为了减小交叉项，希望核函数在时延-频偏平面为低通函数。可以得到抑制交叉项的途径：对信号x(t)求模糊函数，由于A(v)xτ,的自项始终在(τ,v)平面的原点处，而互项远离原点，因此，可以设计一个(τ,v)平面的2-D低通滤波器对A(v)xτ,滤波，从而有效地抑制了A(vxτ,)中的交叉项；对滤波后的AF按式(2-11)作二维傅立叶变换，得到W(tfx,)。这时的W(tf)x已是被抑制了交叉项的新WVD。同时交叉项的减小会对信号项产生拉平的负面作用，交叉项的减小与信号项的维持是一对矛盾。在选择核函数时应该对交叉项抑制与时频聚集性两者之间有一个好的兼顾。
对于交叉项的抑制可以选择不同的核函数，本文对平滑伪Wigner-Ville分布(SPWD)(采用核函数g (τ,v)=η(τ2)η*(τ2)G(v))进行分析。
平滑伪Wigner-Ville分布的形式如下
平滑伪Wigner-Ville分布采用窗函数g(u)h(τ2)来抑制交叉项[105,106]。离散的SPWD如下
式中 N——信号的长度；
g(u)——时域平滑窗函数，长度为2L+1； h(τ)——频域平滑窗函数，长度为2M+1。
窗函数可以选择Hamming、Hanning、Kaiser、Gauss、Triang、Bartlett窗等。由于这些窗函数是低通函数，g( τ,v)=η(τ2)η*(τ2)G(v)核函数通过G(v)和η(τ)窗函数在时延-频偏平面内分别对时延、频偏滤波，可以将图2-9中AF的互项很好地抑制。
2.3.4应用平滑伪Wigner-Ville分布提取爆震特征
用以上算法对汽油机振动信号和缸压信号进行分析。研究发现，SPWD的计算量比STFT还要大，对内存和CPU速度要求更高，同样每次只取一个循环的信号进行分析。
从图2-3正常点火中的a)和b)两信号中分别截取第4循环的信号进行SPWD分析。采用hamming窗，时间窗的长度设为51个采样点，频率窗的长度设为129个采样点，其分析结果如图2-10所示；再从图2-4点火提前角增大10o的信号中截取第4循环的信号进行SPWD分析，同样采用hamming窗，时间窗的长度为51个采样点，频率窗的长度为129个采样点，其结果如图2-11所示。
图2-10正常点火时压力信号和振动信号的SPWD分析(未滤波)
Figure 2-10 The SPWD analysis of the pressure signal and vibrationsignal without filtering
detected at normal ignition advance angle
图2-11点火提前角增大10o时压力信号和振动信号的SPWD分析(未滤波)
Figure 2-11 The SPWD analysis of the pressure signal and vibration signal withoutfiltering
detected at ignition advance angle increased 10ofrom normal time
从图2-10和图2-11可以看出，无论是正常点火提前角时测得的信号，还是点火提前角增大10o时测得的信号，由于信号中低频能量占绝对优势，直接对信号实施SPWD，无论是气缸压力信号的SPWD结果还是缸盖振动信号的SPWD结果，都无法提取出爆震特征。
为此，对于压力信号滤掉其中2000Hz以下的低频成分，对于振动信号滤掉3000Hz以下的低频成分，然后再对滤波后的信号实施SPWD处理。分析结果分别如图2-12、图2-13所示。
图2-12正常点火时压力信号和振动信号的SPWD分析(滤波后)
Figure 2-12 The SPWD analysis of the pressure signal and vibrationsignal detected at a
normal ignition advance angle
图2-13点火提前角增大10o时压力信号和振动信号的SPWD分析(滤波后) Figure 2-13 The SPWD analysis of the pressure signal and vibration signaldetected at an
ignition advance angle increased 10ofrom normal time
观察图2-12，在时频平面上爆震应发生的区域没有明显的信号成分，这是由于信号是在正常点火提前角下测得的，此时没有爆震发生；观察图2-13，在压力信号和振动信号分别在0.012秒附近有瞬态冲击存在。对比图2-4a)，这在时间上符合爆震产生的时间，另外冲击所处的频率范围也在爆震的特征频率带之内，因此可以断定它表征的是爆震特征，所以，利用SPWD方法，在对信号进行适当滤波的前提下，能够从气缸压力信号和缸盖振动信号中提取出爆震特征。
观察图2-12、图2-13，发现与STFT分析结果类似，压力信号大约在33kHz~35kHz范围内，沿时间轴有接近均布的信号分量存在，而振动信号中完全没有此信号分量存在。作者认为此现象不是由汽油机所产生的，而是由压力传感器系统产生的噪声。
以上分析说明，对气缸压力信号和缸盖振动信号直接应用SPWD，由于低频成分在能量上占主要地位所以很难提取出爆震特征，但对适当滤波后的信号实施SPWD则能够提取出爆震特征。
2.4离散小波变换方法的爆震特征提取
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