(高二下数学期末20份合集)广东省广州市高二下学期数学期末试卷合集

所以a23，a?42?5,a?8349。（3分） n?1

（II）解：由a21,a2,a3,a4，猜想an?2n?1?1（5分）

以下用数字归纳法证明：对任何的n?N*，a2n?1n?2n?1?1

证明：①当n?1时，由已知，左边?12，右边?111?1?2，所以等式成立。

（7分） ?k?k?N*?时等式成立，即a2k?1②假设当nk?2k?1?1，（8分）

2k?1则n?k?1时，a?2a2?kk?1k?1a?2?12k2kk?1?k?1k?1?k。 k?122?22k?1?1?1?12?1所以当n?k?1时，猜想也成立。（12分）

根据①和②，可知猜想对于任何n?N*都成立。（13分） 17. （本小题满分13分） （I）解：因为f??x??2e2x?1?2。（2分）

令f??x??0，解得x?

1

2

。（3分）

当x变化时，f?x?与f??x?的变化情况如下表：

x

????,1??1??1??2?

2 ?2,???? f??x? － 0 ＋ f?x?

极小值

所以函数f?x?在（??,12）上单调递减，在??1?2,?????上单调递增。（6分）

（II）解：当b?1?12时， 因为函数f?x?在（b,b?1）上单调递减， 所以当x?b?1时，函数f?x?有最小值f?b?1??e2b?1?2b?2。（8分）

当b?12?b?1时，

因为函数f?x?在??b,1?2??上单调递减，在???1?2,b?1???上单调递增，

所以当x?

12时，函数f?x?有最小值f??1??2???0。（10分）

5分）（

当b?12时， 因为函数f?x?在（b,b?1）上单调递增， 所以当x?b时，函数f?x?有最小值f?b??e2b?1?2b。（12分）

综上，当b??12b?12时，函数f?x?在?b,b?1?上的最小值为f?b?1??e?2b?2；

当?1?1?2?b?12时，函数f?x?在?b,b?1?上的最小值为f??2???0；；

当b?12时，函数f?x?在?b,b?1?上的最小值为f?b??e2b?1?2b。（13分）

18. （本小题满分13分） （I）解：由题意，得取出的3个球都是白球时，随机变量X?6。（1分）

3 所以P?X?6??C42C3?，（3分）

m?45 即C3m?4?10，

解得m?1。（5分）

（II）解：由题意，得X的可能取值为3，4，5，6。（6分）

3

则P?X?3??C31C3?，

735

?C21PX?4??3C412C3?， 735

P?X?5??C123C418C3?。 735 P?X?6??C344C3?。（10分） 735

X的分布列为： X 3

4

5

6

P

1 12183535 43535

所以E?X??3?135?4?1235?5?1835?6?435?337。（13分） 19. （本小题满分14分） （I）证明：设空间向量a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?，且a与b的夹角为?， 因为a?b?|a|?|b|cos?， 所以a?b?|a|?|b|，（3分）

即a1b1?a2b2?aa2?a2a22223b3?12?3?b1?b2?b3（6分）

11分）（

22222所以?a1b1?a2b2?a3b3??a1， ?a2?a3b12?b2?b32????当且仅当??0时，等号成立。（7分） （II）解；设空间向量a??1,1,1?，b?因为y?所以y?即y??x,2x?2,8?3x，且a与b的夹角为?，（9分）

?x?2x?2?8?3x?a?b，

x?2x?2?8?3x?12?12?12?x??2x?2???8?3x?，

3?6?32，（12分）

当且仅当??0（即a与b共线，且方向相同）时，等号成立。 所以当x?2x?2?8?3x时，即x?2时，函数y?x?2x?2?8?3x有最大值ymax?32。

（14分）

20. （本小题满分14分）

（I）解：因为f?x??12x?f??2?x， 2所以f??x??x?f??2?。（2分） 令x?2，得f??2??1， 所以f?x??12x?x。 2（II）解：设F?x??f?x??g?x??lnx?x， 则F??x??1（5分） ?1，x令F??x??0，解得x?1。（6分）

当x变化时，F?x?与F??x?的变化情况如下表：

x

（0，1）

＋

1 0 极小值

?1,???

－

f??x? f?x?

所以当x?1时，F?x?max?F?1???1。（8分）

因为对于任意x??0,???，都有f?x??g?x??a成立， 所以a??1。（9分）

（III）证明：由（II），得F?x??lnx?x??1，即lnx?x?1， 令x?x1x1x1??1， ，得lna1x1?a2x2a1x1?a2x2a1x1?a2x2

令x?所以

x2x2x2??1，，得ln（11分）

a1x1?a2x2a1x1?a2x2a1x1?a2x2a1ln????x1x2x1x2????a2ln?a1??1?a?1 2????a1x1?a2x2a1x1?a2x2?a1x1?a2x2??a1x1?a2x2?因为a1?a2?1， 所以a1lnx1x2?a2ln?1?a1?a2?0，（13分）

a1x1?a2x2a1x1?a2x2所以a1lnx1?a1ln?a1x1?a2x2??a2lnx2?a2ln?a1x1?a2x2??0，

即a1lnx1?a2lnx2??a1?a2?ln?a1x1?a2x2??ln?a1x1?a2x2?， 所以lnx11?x22?ln?a1x`1?a2x2?，

aa??所以x11?x22?a1x1?a2x2（14分）

aa