第34讲 归纳、猜想与说理型问题 (建议该讲放第11讲后教学) 所谓归纳、猜想，指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给内容 特性 出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论． 解题中要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，得出结论．有时借助图形、实物或实际操作打开思路． 解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：(1)解题 认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系； 策略 (2)根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论； (3)结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性. 观察、分析、归纳、猜想一般，给出一组具有某种有规律的数、式、图形，基本 或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观思想 察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论. 类型一 通过数式变化产生规律 例1 (2016·淄博)(1)填空：(a－b)(a＋b)＝ ； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝ ； (a－b)(a3＋a2 b＋ab2＋b3)＝ ； (2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝ (其中n为正整数，且n≥2)； (3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2. 【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证．对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解． 1．(1)(2016·资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b…，则b＝ . (2)(2016·德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 输入x第――1→次y1＝2y12y2――→y＝――→y＝――→ 23x＋1第2次y1＋1第3次y2＋1…2x则第n次运算的结果yn＝ (用含字母x和n的代数式表示)． 类型二 通过图形变化产生规律 例2 (2016·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( ) A．25 B．33 C．34 D．50 【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键．解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律． 2．(2017·舟山)如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan11∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝____________________，…按此规律，写出tan37∠BAnC＝____________________(用含n的代数式表示)． 类型三 通过平移、折叠产生规律 例3 如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点，第1次将
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