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二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 （a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而b，c可以为零．二次函数的定义域是 ． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是 ，右边是关于自变量x的 ，x的最高次数是 ． ⑵ a，b，c是 ，a是 ，b是 ，c是 ． 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口 。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 a?0 ?0，0? ?0，0? y轴 x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y有最 值0． a?0 向下 y轴 2. y?ax2?c的性质：上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 a?0 ?0，c? ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y有最 值c． a?0 向下 2y轴 x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y有最 值c． 3. y?a?x?h?的性质： 左加右减。
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 a?0 ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y有最 值0． x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y有最 值0． a?0 2向下 ?h，0? X=h 4. y?a?x?h??k的性质：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 a?0 ?h，k? ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y有最 值k． x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y有最 值k． a?0 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
向下 X=h 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标( )；
⑵ 保持抛物线Y=ax2的形状不变，将其顶点平移到( )处，具体平移方法如下：
2 - 1 -
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y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正 移，负 移；负 移”．概括成八个字“左 右 ，上 下 ” k值正 移，方法二：
⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax?bx?c变成
22
y?ax2?bx?c?m（或 ）
⑵y?ax?bx?c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax?bx?c变成
22y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或 ）
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过 可以得到前者，即
b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x?，其中h??，． k???2a?4a2a4a?222五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其 、 、及 ，然后在对称轴c?关于对两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点 、与y轴的交点（ ）、以及?0，c?、与x轴的交点（ ）称轴对称的点?2h，，（ ）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
1. 当a?0时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
bbb时，y随x的增大而 ；当x??时，y随x的增大而 ；当x??时，y有最小值 ． 2a2a2a 2. 当a?0时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当x??bbb时，y随x的增大而 ；当x??时，y随x的增大而 ；当x??时，y有最大值 ． 2a2a2a七、二次函数解析式的表示方法 当x??1. 一般式： （a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式： （a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式： （a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
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注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a 二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口 ，a的值越大，开口 ，反之a的值越小，开口 ； ⑵ 当a?0时，抛物线开口 ，a的值越小，开口 ，反之a的值越大，开口 ． 总结起来，a决定了抛物线开口的 和 ，a的正负决定 ，a的大小决定 ． 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴 ； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是 ； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的 ． 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴 ； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是 ； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的 ． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的 ，ab的符号的判定：对称轴x??左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左 右 ”
b在y轴2a3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴 ，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 ； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标 ，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴 ，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 ． 总结起来，c决定了抛物线与y轴 位置．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题
目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用 ；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用 ； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用 ； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用 ．
九、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值 时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于 A?x1， - 3 -
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ax2?bx?c?0?a?0?的两根．.
② 当??0时，图象与x轴 交点； ③ 当??0时，图象与x轴 交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的 ，无论x为任何实数，都有y 0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的 ，无论x为任何实数，都有y 0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为( ， )；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为 ；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为 ；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出 坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ??0 抛物线与x轴有 交点 抛物线与x轴 交点 抛物线与x轴 交点 二次三项式的值可正、可零、可负 二次三项式的值为非负 二次三项式的值恒为正 一元二次方程有 实根 一元二次方程有 实数根 一元二次方程 实数根. ??0 ??0 十一、函数的应用
?刹车距离?二次函数考查重点与常见题型: 二次函数应用?何时获得最大利润
?最大面积是多少?考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
1、已知以x为自变量的二次函数y?(m?2)x?m?m?2的图像经过原点， 则m的值是 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y?kx?b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y?kx?bx?1的图像大致是（ ）
y y y y
1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x?2225，求这条抛物线的解析式。 3
4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
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已知抛物线y?ax2?bx?c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
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