初中数学《反比例函数》练习题及答案(4)

初中数学《反比例函数》练习题

4．如图，点P在曲线y＝（x＜0）上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）填空：OA＝ 6 ；OB＝ 2 ；k＝ ﹣60 ．

（2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是 （，﹣3﹣8） ；

（3）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．

解：（1）t2﹣8t+12＝0， 解得：t＝2或6，

即OA＝6，OB＝2，即点A、B的坐标为（﹣6，0）、（0，2）， 设点P（﹣6，

），

由PA＝PB得：36+（2+）2＝（）2， 解得：k＝﹣60， 故点P（﹣6，10）， 故答案为：6，2，﹣60；

（2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，

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∵AM2＝AO2+OM2， ∴AM2＝36+（AM﹣2）2， ∴AM＝10＝BM

∴点M坐标为（0，﹣8） 设直线PM的解析式为：y＝kx﹣8 ∴10＝﹣6k﹣8 ∴k＝﹣3

∴直线PM的解析式为：y＝﹣3x﹣8 ∴设点Q（a，﹣3a﹣8）（a＞0） ∵MQ＝10＝∴a＝

，﹣3，﹣3

﹣8） ﹣8）

∴点Q坐标为（故答案为：（

（3）是定值，理由：

延长PA交圆M于E，过点E作EH⊥BD于H，连接CE，DE，

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∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA，

∵四边形ABCE是圆的内接四边形， ∴∠PAB＝∠PCE，∠PBA＝∠PEC， ∴∠PEC＝∠PCE， ∴PE＝PC， ∴AE＝BC，

∵AO⊥BD，EH⊥BD，PA⊥OA， ∴四边形AODE是矩形， ∴AO＝EH，AE＝OH＝BC， ∵PA∥BD， ∴∴

，

∴∠ABD＝∠BDE，且∠AOB＝∠EHD＝90°，AO＝EH， ∴△AOB≌△EDH（AAS） ∴OB＝DH＝2，

∴BD﹣BC＝BD﹣OH＝OB+DH＝4

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