T2 中国麻将中的数学问题

T2 中国麻将中的数学问题

七院一队：韩翔 罗皓飞 高欣飞

编号：7503

摘 要

麻将起源于中国，它不仅具有独特的游戏特点，而且具有集益智性、趣味性、博弈性于一体的运魅力及内涵丰富、底蕴悠长的东方文化特征，成为中国传统文化宝库中的一个重要组成部分。越来越多的研究表明：麻将里面蕴藏着历史的、哲学的、数理的、心理的、逻辑学的、医学的等各门类的知识和秘密。

这里通过麻将规则中的番值、各种牌型的分析来计算，各种番值糊到的概率大小而分析番值种类的合理性和规律，并结合国家体育中心关于麻将比赛番值分布统计结果，此处建立一般的计算概率的模型，做出部分合理的必须的假设，计算出各种牌型出现的概率，模型能反映出概率的变化并利用既得概率，相比较分析出相应的比值，以及牌型规定番值的比，看两者是否成线性比，来看番值规定的合理性与规律，通过对模型的处理可得到大致的规律为：牌型发生的概率越小，其番值越大。并且呈一定的线性比，但番值规定存在一定的不足不能很好的反映牌型发生的可能性大小。

一、问题重述

麻将取胜得到的番值越大，概率就越小，试分别计算表中各种情况的概率。

二、假设

1.比赛相对公平公正，参加人员水平相当，水平发挥正常，无意外情况发生； 2.打牌、摸牌均是随机事件，且打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的； 3.不使用字牌中的花牌；

4.手中的牌与所有的牌性质一样，但因为手中的牌是人通过主观推断而留下来的牌，则其更有利，即更容

易组成对子、顺子、刻子，其比随机事件更好。即手中的牌有用率比打出的牌或未摸完的牌服从线性比，设其为P；

5.手中的牌能够成为刻子、顺子、对子等的概率与整副牌随机组成刻子、顺子、对子的概率成正比； 6.各种可能的糊牌牌型是等可能的。

三、符号说明

Ci代表番值 Pi对应番值Ci的概率

四、问题分析

先初步估计

CiPj?CjPi，估计可能会有个别特殊例子。模型中糊的番数越大则其相应的的概率越小，通过模

型算出各番种的概率，比较各番种概率的比值，从而对番种分值确定的合理性做出判断，找出确定分值的误差。可以根据找出的不同番种的概率分析出其中的规律，与第六项番种分值确定的规律比对，得出正确规律。

五、模型的建立与求解

建立一般求解概率模型

53因为人手中必须有53张牌才能糊，即糊的一家14张牌其余三家各13张牌，共有C136种组合。

1. 大三元：

对于大三元，因为其牌型规定必须有“中发白”三副刻子，所以至少有“中发白”个三张，故至少有九张牌确定。

其组合种数有43种。

由假设，打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的，因为要糊大三元所以“中发白”三副刻子必须在一家人

44手里。而这三副刻子在一家人手里的概率为149，对于其余的44张牌，有C127种组合。

糊大三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111

7?43?3对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 3C108对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

9?4?3?4?4； 3C124对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

9?6?3-4?6?4。 2C1247?43?3由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为P1=?P，P2=3C1089?4?3?4?4?P，3C124P3=

9?6?3-4?6?4?P。 2C12444C127?431由以上分析知，有“中发白”三副刻子在一家人手里的概率为?9，对于两种可能的糊牌牌型，53C1364其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1?P2； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为P1?P3。

可得：大三元牌型的概率为

44C127?43117?43?39?4?3?4?47?43?39?6?3-4?6?4??4??(?P??P??P??P)由附件可知出现53933322C1364C108C124C108C124频数为6310016实际频数：3279519232。

2. 小四喜

33因为和牌时有风牌的3副刻子及将牌，所以对风牌的这三副刻子的排列数有C34?(C4)种。确定了这9张

44牌之后人手中还剩44张牌，这44张牌的排列组合数为C129。

糊小四喜的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111

7?43?3对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 3C108对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

9?4?3?4?4； 3C124对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

9?6?3-4?6?4。 2C1247?43?3由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为P1=?P，P2=3C1089?4?3?4?4?P，3C124P3=

9?6?3-4?6?4?P。 2C124443C127?C34?C4由以上分析知，有风牌的三副刻子在一家人手里的概率为53C136??3?1，对于两种可能的糊牌牌型，49其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1?P2； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为P1?P3。 可

得

：

3小四喜牌型的概率为

443C127?C34?C453C136??117?43?39?4?3?4?47?43?39?6?3-4?6?4?9?4??(?P??P??P??P) 333224C108C124C108C1243. 小三元

22因为和牌时有箭牌的2副刻子及将牌，所以对将牌的这三副刻子的排列数有C3?(C34)种。确定了这6张47牌之后人手中还剩47张牌，这47张牌的排列组合数为C130。

糊小三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111

(3)11、123、123、111、111

7?43?3对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 3C108

对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

9?4?3； 3C128对刻子111分析，为风牌、箭牌的概率为

4?4?4； 3C1289?6?3-4。 2C128对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为

C2?4?6对将牌11分析，为风牌、箭牌的概率为43

C1289?4?3?4?4?47?43?3由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为P1=，=?P，P?P233C128C108P3=

9?6?3-4?6?4?6?P。 2C128472C130?C3?C34由以上分析知，有箭牌的二副刻子在一家人手里的概率为53C136??2?1，对于三种可能的糊牌牌型，64其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1?P2?P3； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为P3?P2?P2。 对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为P1?P1?P3 可

得

：

2小三元牌型的概率为

472C130?C3?C3453C136??117?43?39?4?3?4?4?49?6?3-4?6?4?6?6?4??(?P??P??P33234C108C128C1289?4?3?4?4?49?4?3?4?4?49?6?3-4?6?47?43?37?43?3??P??P??P??P??P 33233C128C128C128C108C108?9?6?3-4?6?4?6?P)3C128

4. 清一色

如果要糊清一色则至少必然要有14张同一种花色的序数牌。 组合数为3C1436。

39对于其余人手中的39张牌其组合数有C123种。

糊清一色的牌型可以为： (1)11、123、123、123、123 (2)11、123、123、123、111 (3)11、123、123、111、111 (4)11、123、111、111、111 (5)11、111、111、111、111