静安区2017学年第二学期教学质量检测高三数学

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1． 2n?OB44则cos?n,OB????29. 29|n||OB|29所以n?OB?2，|n|?29，|OB|?故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为429. ………………14分 29

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 已知数列{an}中，a1?a(a?R,a??),an?2an?1?足：bn?an?1211+nn(n?1)(n?2,n?N*)．又数列{bn}满

1(n?N*)． n?1（1）求证：数列{bn}是等比数列；

（2）若数列{an}是单调递增数列，求实数a的取值范围；

（3）若数列{bn}的各项皆为正数，cn?log1bn，设Tn是数列{cn}的前n和，问：是否存在整数a，使得

2数列{Tn}是单调递减数列？若存在，求出整数a；若不存在，请说明理由． 解：（1）an?11111111 ?2an?1????2an?1????n?1nn(n?1)n?1nnn?1n?1 ＝2an?1?即

21?2(an?1?) 2分 nnbn?2 3分 bn?1又 b1?a1?所以{bn}是以b1?a?（2）bn?(a?)?2111?a?，由a??，则b1?0 2221为首项，2为公比的等比数列． 4分 2，所以an??a?*12n?1??1?n?11 6分 ?2??2?n?1若{an}是单调递增数列，则对于n?N，an?1?an?0恒成立 7分

1?11?1?? an?1?an??a???2n???a???2n?1?2n?22n?1???? ＝?a???1?n?111?n?111?＝ 8分 ?2??a??2????2?(n?1)(n?2)2?n?1n?2?

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由 ??a?1??2???2n?1?1(n?1)(n?2)?0， 得 a?112??2n?1(n?1)(n?2)对于n?N*恒成立 由于 ?12n?1(n?1)(n?2)单调递增， 且?12n?1(n?1)(n?2)?0，lim[n???12n?1(n?1)(n?2)]?0， 所以a?12?0，又a??12，则a??12． 10分 （

3

）

因

为

数

列

{bn}的各项皆为正数，所以

a?12?0a??12．c11?log1n?log1[(a?)2n?1]??n?2(a?)， 13分

222若数列{Tn}是单调递减数列，则T2?T1，即

?2log12?log11112(a?)?1?2(a?2),log2(a?2)??1，即a?2?2，

所以?12?a?0．不存在整数a，使得数列{Tn}是单调递减数列． 16分

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

设函数f(x)?|2x?7|?ax?1（a为实常数）. （1）若a=?1，解不等式f(x)?0；

（2）若当

x1?x?0时，关于x的不等式f(x)?1成立，求实数a的取值范围； （3）设g(x)?2x?1?ax?1，若存在x使不等式f(x)?g(x)成立，求实数a的取值范围．

解：（1）由f(x)?0得2x?7?x?1，………………………1分

解不等式得??x|x?8?3或x?6??? ………………………………4分 （利用图像求解也可）

（2）由

x1?x?0解得0?x?1． 由

f(x)?1得|2x?7|?ax?0，当0?x?1时，该不等式(a?2)x?7?0； …………………………5分 当a=2时，符合题设条件；……………………6分 下面讨论a?2的情形，

当a?2时，符合题设要求；……………………7分

10

，则

为

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77?1，解得2?a??5； ，由题意得

2?a2?a综上讨论，得实数a的取值范围为?a|a??5? ………………………10分

当a?2时，x? （3）由g(x)?2x?1?ax?1=2x?1?a(x?1)，…………………………12分

代入f(x)?g(x)得|2x?7|?2|x?1|?1?a，令h(x)?|2x?7|?2|x?1|?1，

??6,x?1?77?则h(x)???4x?10,1?x?， ?4?h()?h(x)?h(1)?6，

22?7??4,x???2∴h(x)min??4…………………………15分

若存在x使不等式f(x)?g(x)成立，则h(x)min?a,即a??4．…………1

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