3??3??即y－?x0－?＝?1＋2?(x－x0)．
?x0??x0?
6
令x＝0，得y＝－，
x0
6??从而得切线与直线x＝0的交点坐标为?0，－?.
?x0?
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
1?6?
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝?－?|2x0|
2?x0?＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
22
13．(2019·达州二诊)已知曲线C在动点P(a，a＋2a)与动点Q(b，b＋2b)(a＜b＜0)处的切线互相垂直，则b－a的最小值为( A )
A．1 C.2
2
B．2 D．－2
2
解析：由题意可得曲线y＝x＋2x上存在两点处的切线互相垂直，由y＝x＋2x的导数为y′＝2x＋2，可得(2a＋2)(2b＋2)＝－1，由a＋1＜b＋1，可得a＋1＜0，且b＝－1，b－a＝
－4当
1－4
1
＋(－a－1)≥2·a＋1
－a－1·
－4
1
1－4a＋1
1
＝2×＝1，当且仅a＋12
31
＝－a－1，即a＝－，b＝－时等号成立，所以b－a的最小值为1. a＋122
x2
e
14．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C1：y＝x与曲线C2：y＝(a＞0)存在公共切线，
a则a的取值范围为( D )
A．(0,1)
?e?B.?1，? ?4??e?D.?，＋∞? ?4?
2
2
2
2
?e?C.?，2?
?4?
2
xe?1n?解析：曲线y＝x在点(m，m)的切线斜率为2m，曲线y＝(a＞0)在点?n，e?的切线斜
a?a?
m2－ena1n1n率为e，如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝e.又由直线的斜率公式得到2m＝，aam－n1n1x则有m＝2n－2，则由题意知4n－4＝e有解，即y＝4x－4，y＝e的图象有交点．若直线y1
aa1x1s1s＝4x－4与曲线y＝e相切，设切点为(s，t)，则e＝4，且t＝4s－4＝e，可得切点为(2,4)，
aaa 5
1414ee
此时＝2，故要使满足题意，需≤2，则a≥，故a的取值范围是a≥.故选D.
aeae44
115．已知曲线y＝x，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为 x＋4y－2＝0 .
e＋1－e
解析：y′＝xe＋1
x2
22
＝－1
， 1xe＋x＋2
e
11xxe×x＝2(当且仅当e＝x，即x＝0时取等号)，
ee
1xx因为e＞0，所以e＋x≥2e
1－11x则e＋x＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时取等号)．
e14xe＋x＋2
e
?1?当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为?0，?，切线的方程为y－?2?
11
＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0. 24
16．(2019·安徽淮南一模)已知函数f(x)＝x－lnx. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，
2
2
?1?且切点的横坐标都在区间?，1?上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．
?2?
1
解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为
xy－1＝1×(x－1)，即y＝x.
?1?(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈?，1?，不?2?
妨设x1＜x2，
1??1??2x－2x－结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得?1?2x2?＝－1， x1?????1?1?又函数f′(x)＝2x－在区间?，1?上单调递增，函数的值域为[－1,1]，
x?2?11
故－1≤2x1－＜2x2－≤1，
x1x2
1
2x－＝－1，??x据此有?1
2x－??x＝1，
1
1
2
2
?
1
解得x1＝，
2
??x2＝1?x1＝－1，x2＝－舍去?，
?
1??1
故存在两点?，ln2＋?，(1,1)满足题意．
4??2
6
12
7
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