2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1???xcos,若x?0,f(x)??x若x?0,?0,?（1）设 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是_____. （2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________. （3）设a>0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则I???f(x)g(y?x)dxdy=_______.
?0,其他，D（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵 A?E???T， B?E?1??T， a其中A的逆矩阵为B，则a=______.
（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为________.
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n??1n时，Yn??Xi2依概率收敛于______.
ni?1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) [ ] x(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是 [ ] (A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. （3）设pn? (A) 若(B) 若(C) 若(D) 若
an?an2，qn??an?an2?n，n?1,2,?，则下列命题正确的是 [ ]
n?an?1?n?1?n?1??an?n条件收敛，则
绝对收敛，则条件收敛，则绝对收敛，则
?pn?1?n?1?n?1??pn与
与与与
?qn?1?n?1?n?1??qn都收敛.
都收敛. 敛散性都不定.
敛散性都不定.
?an?1n?pn?1n?qn?1n?an?pn?qn?abb???（4）设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 [ ] ????bba??(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.
(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是 [ ]
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线
性无关.
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有
k1?1?k2?2???ks?s?0.
(C) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件 [ ]
(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立. (C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立.
三、（本题满分8分）
1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)21试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.
2设： f(x)?四 、（本题满分8分）
?2f?2f12?2g?2g2设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足??1，又g(x,y)?f[xy,(x?y)],求2?2.
2?u2?v2?x?y五、（本题满分8分）
计算二重积分 I??(x??eD2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.
2其中积分区域D={(x,y)x?y??}.
六、（本题满分9分）
2x2n求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.
2nn?1?n七、（本题满分9分）
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件：
f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex. (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）
设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0.
九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn其中
?0,?0,?0, ?0,?ai?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
十、（本题满分13分）
222设二次型f(x1,x2,x3)?XTAX?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.
(1) 求a,b的值；
(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为
?1,若x?[1,8],? f(x)??33x2
其他;??0,F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
十二、（本题满分13分）
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X~??0.30.7??，
??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
?12?2003年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1???xcos,若x?0,f(x)??x若x?0,?0,?（1）设 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2.
【分析】 当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.
【详解】 当??1时，有
11???1??xcos?x??2sin,若x?0, f?(x)?? xx若x?0,?0,?显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续.
x?0（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2? 4a6 .
【分析】 曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.
【详解】 由题设，在切点处有
2 y??3x2?3a2?0，有 x0?a2. 又在此点y坐标为0，于是有
30?x0?3a2x0?b?0,
222故 b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.
【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.
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