4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 参考答案：证明：（1） 在△ABD和△CBD中，
∵ E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD…………….3分
又 ∵
∴ EH∥FG. 分
， ∴ FGBD.
所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分
（2）由（1）可知，EH∥FG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰， 所以它们的延长线必相交于一点P. ……………………………9分
∵ AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴ 由公理3知PAC. ………………………11分 所以，三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分
5.如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，求证：
.
参考答案：证明：连结
，交
于
，连
…………3分
则由得……………………7分
由得………………..10分
所以………………………..12分
6.如图，在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1 中. （◎P79 B2）
求证：（1）B1 D⊥平面A1 C1 B； （2）B1 D与平面A1 C1 B的交点设为H，则点H是△A1 C1 B的垂心.
参考答案：（1）连所以 同理可证
，
，面
，又，因此
面。
，
，所以B1 D⊥平面A1 C1 B。……6分
（2）连 又也是
，由，因此点
为是
，得 的外心。 的中心，
为正三角形，所以
的重心。………….…………………. 12分
中，
，
7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥
平面（1） 求证：的大小.
，且
，点是
； （2）求证：
的中点. 平面
；（3）求二面角
（2）
参考答案：（1）∵ PA⊥平面 ABCD， ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC，AC
平面ABCD， ∴AC⊥PB. ……4分
（2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC……………………………..8分
（3）
取AD的中点F，所以
的中点，连，则
与
对应相等。
是所求二面角的平面角，且
易知由图可知，为所求。……………12分
8.已知
，
，
，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
参考答案：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率KＡＢ ＝３，……………2分.
直线ＣＤ的斜率KＣＤ ＝， 直线ＣＢ的斜率KＣＢ ＝－２， 直线ＡＤ的斜
率KＡＤ ＝。
……………………………………………………………………………8分
由CD⊥AB，且CB∥AD，得，………11分
所以点Ｄ的坐标是（０，１）……………………………………..12分 9.求过点
，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
参考答案：因为直线ｌ经过点Ｐ（２，３），且在ｘ轴，ｙ轴上的截距相等，所以
（１）当直线过原点时，它的方程为
；……………………………5分
（２）当直线不过原点时，设它的方程为所以，直线的方程为综上，直线的方程为
由已知得，
。……………………………………….11分 ，或者
。……………..12分
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