2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

2010 年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题参考答案

一、选择题

(1) 【答案】 (C). 【解析】

x ? 1? 1 ? x ? x11axe ??x? xx1? e lim ??? a e ? lim 1? e ?1? 1? e ? axe ? ax?? ? lim ??? ? lim????????????x?0 ?x?0 x ? x x?0 x ? ? x?0 x ? x ???x

?

?

?

所以a ? 2 .

(2) 【答案】 (A)．

1? ex axex

? lim ? lim ? ?1? a ? 1 x?0 x?0 x x

【解析】因? y1 ? ? y2 是 y? ? P ? x? y ? 0 的解,故?? y1 ? ? y2 ?? ? P ?x??? y1 ? ? y2 ? ? 0 ,所以

? ? y ? ? P ? x? y ? ? ? ? y ? ? p(x) y ? ? 0 ,

? 1 ?

1 1 2 1 ? ? 2 2

2 ??

x? y ? q ?x?, y ? ? P ?x? y ? q ?x? ,所以 而由已知 y ? ? P ?

?? ? ? ? q ? x? ? 0 ,

①

又由于一阶次微分方程 y? ??

p? x? y??q由此可知 q ? x? ? 0 , 所以 ? ?x是非齐的,

?

? ? ? ? 0 ．

由于? y1 ? ? y2 是非齐次微分方程 y? ? P ? x? y ? q ? x? 的解,所以

整理得

?? y1 ? ? y2 ?? ? P ? x??? y1 ? ? y2 ? ? q ? x?,

? ? y ? ? P ? x? y ? ? ? ? y ? ? P ? x? y ? ? q ? x? ,

? 1 1 ? ? 2 2 ??

即

q ? x? ? 0 可知? ? ? ? 1, ?? ? ? ? q ? x? ? q ?x? ,由

1

2

②

由①②求解得? ? ? ? ,故应选(A)．

(3) 【答案】 (B).

【解析】

? f ?g(x)??? ? f ??g(x)?? g?(x),

2

? f ?g(x)??? ? ? f ??g(x)?? g?(x)?? ? f ??g(x)???g?(x)?由于 g(x0 ) ? a 是 g(x) 的极值,所以 g?(x0 ) ? 0 .所以

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? f ??g(x)?? g ?(x)

? f ?g(x)?????? f ??g(x0 )?? g ?(x0 ) ? f ??a?? g ?(x0 )

0

由于 g??(x0 ) ? 0 ,要使(4)【答案】 (C). 【解析】因为 lim

x??? ? f ?g(x)???? ? 0 ,必须有 f ?(a) ? 0 ,故答案为 B.

? lim

x 1? ?? ,所以,当 x 充分大时, h(x) ? g(x) . ? lim e10

x??? x x????10

h(x)

ex

10

g(x)

又因为 lim f (x) ? lim

x???

1 ln9 x ? 9

10 x ln x ? 10 lim x ln ? lim 10 x

x????

g(x)

x???

1

x???

x

1ln8 x ?

x ??? 10 ?9 lim

x??? 1

? 10 ?9 2 lim

ln x? 10! lim 1 ? 0 .

x????x x??? x

所以当 x 充分大时, f (x) ? g(x) ,故当 x 充分大, f (x) ? g(x) ? h(x). (5) 【答案】 (A)．

【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以r(I) ? r(II) ,即

r(?1, ,?r ) ? r(?1, , ?s ) ? s

若向量组 I 线性无关, 则 r(?1, ,?r ) ? r , 所以 r ? r(?1, ,?r ) ? r(?1, , ?s ) ? s , 即

r ? s ,选(A).

(6) 【答案】 (D).

【解析】设? 为 A 的特征值,由于 A2 ? A ? O ,所以?? ? ? 0 ,即(? ?1)? ? 0 ,这样 A 的

2

特征值只能为-1 或 0. 由于 A 为实对称矩阵, 故 A 可相似对角化, 即 A ??,

? ?1 ??? ?1 ??

? ??? ???1 ?1 ? ? ? ? . r(A) ? r(?) ? 3,因此, ?? ,即 A ?? ? ? ?1 ???1 ??? ??? ??

0 0

? ? ? ??

(7) 【答案】 (C).

【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中 F (x) 的形式,得到随机变量 X 既不是离散型随机变量,也不是连续 型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即

1 1 P?X ? 1? ? P?X ? 1? ? P?X ? 1? ? F ?1? ? F ?1? 0? ? 1? e?1 ? ? ? e?1 , 故本题选

2 2

(C).

(8) 【答案】 (A).

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2?1 , ?1 ? x ? 3 1 ? x

? 2x? e ? ? x? ? ? ??4 【解析】根据题意知, f1 ( ?? ? x ? ?? ), f2

2????0, 其它

利用概率密度的性质:

0

?f ? x? dx ?? af ? x? dx ?????

dx ? 1,故 ??f ? x???

?

??

???

???

? bf ? x?dx ?

2

a ??

f ? x?dx ? b

1

3??

1

?0

所以整理得到2a ? 3b ? 4 ,故本题应选(A). 二、填空题 (9) 【答案】?1. 【解析】

2 ???

?

1 a 3 dx ? ? b ? 1 4

2 4

0

? 0

x? y

e?t2

dt ? x sin t2dt ,令 x ? 0 ,得 y ? 0 ,等式两端对 x 求导：

??

x

0

?

x 2 dy e?(x? y)(1? ) ? ?sin t2dt ? x sin x2 ．

0 dx

dy dy ? 0 .所以 ? ?1. 将 x ? 0 , y ? 0 代入上式,得1?? dx x?0 dx x?0

2

? (10) 【答案】 .

4

【解析】根据绕 x 轴旋转公式, 有

V ? ?? ydx ? ??

2e

e

?? ??

dx ??

?

2

? ? ? ? ?

d ln x ? ? ? ?arctan ?ln x?? ? ? ? ? .

? ? ??? ?e 1? ln2 x ?? ?e ? 2 4 ????4 1

x ?1? ln2 x??

(11) 【答案】 p ? e3

?P ?1??

3.

dR ? 1 2 ? 1 2 dR p 3

? ? 1? p ? ? p 【解析】由弹性的定义,得 ,所以 R ? ? dp ,即ln R ? ln p ? p ? C ,

p 3 dp R ? ??

? p3 ?1??1 1 1

R ?1? ? 1,所以C ?? .故ln R ? ln p ??p ? ,因此 又 R ? p ?e3 .

3 3 3

?

?

1

(12) 【答案】b ? 3 .

【解析】函数为 y ? x3 ? ax2 ? bx ?1 , 它的一阶导数为 y? ? 3 x2 ? 2ax? b;二阶导数为

y?? ? 6x ? 2a ,又因为??1, 0? 是拐点,所以 y?? a

? 0 ,得? ? ?1 ,所以a ? 3,又因为曲线 x??1 3 过点??1, 0? ,所以将 x ? ?1, y ? 0 代入曲线方程,得b ? 3 .

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(13) 【答案】3.

【解析】由于 A(A?1 ? B)B?1 ? (E ? AB)B?1 ? B?1 ? A ,所以

A ? B?1 ??A(A?1 ? B)B?1 ? A A?1 ? B B?1

因为 B ? 2 ,所以 B ? B

?1

?1 ??,因此 2

1

1

. A ? B?1 ? A A?1 ? B B?1 ? 3? 2? ? 3 2

(14)【答案】? 2 ? ?2 .

? 1 n 2 ? 1 ? n 2 ? 1

2 2 2 2

Xi ? ??nE ? 【解析】 E ?T ? ? E ??? Xi ? ??E ?? X ? ? E ? X ? ? ??? ? .

? n i?1 ? n ? i?1 ? n

?

三、解答题

? 1 1??(15) 【解析】 lim ? xx ? ??

x???

? ?

其中

ln x

x

ln x x

1 ln x

? lim e

x????

? 1 ? ln? xx ?1?? ? ?? ?? ln x

? e

? 1 ? ln? xx ?1??? ????lim ? x??? ln x

? ln x ??

ln? e x ?1??

? ex???

lim ? ln x ??

ln x x

ln(e ?1) (e lim ? lim x????x????1 ln x

?1)?1 e x 1? ln x e ?? ? lim

x??? ln x x2

x

ln x x

1? ln x

x

ln x 1 ? lim ex ( ?1) ? ?1. x????ln x

故原式? e?1 .

(16) 【解析】积分区域 D ? D1

2

?? x, y ? 0 ? y ? 1, 2 y ? x ??

D ? ?? x, y? ?1 ? y ? 0, ??2 y ? x ? 1? y ??

D2 ,其中 D1 ?

2D

D

1? y 2 ??

3

x ? ydxdy ? ???x3 ? 3x2 y ? 3xy2 ? y3 ?dxdy ? ???? y3 是 y 的 奇 函 数 , 所以 因 为 区 域 D 关于 x 轴对称 , 被 积 函 数 3x2 y

???3x2 y ? y3 ?dxdy ? 0 ．

D

3 ??? x ? y? dxdy ? ???x ? 3xy ?dxdy ? 2???x ? 3xy ?dxdy ? 2 ??dy?

D D D1

3 2 3 2 ? 1 ? 0

1? y2 ?

2 y?

?x ? 3xy ?dx??

3 2 ????

?

?

?

? 2 ? 1 4 3 2 2 ?x? xy??0 ? 4 2 ??? ?

1 1 ? 14 ?9 4 2 ? y? 2 y? dy ? . dy ? 2

? 1? y2

4 15 ?0 ??4 2 y

? ??

1 (17) 【解析】令 F

? x, y, z, ? ? ? xy ? 2yz ? ? ?x2 ? y2 ? z2 ?10?,用拉格朗日乘数法得

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?x? ? y ? 2? x ? 0, ?F

F ? ? x ? 2z ? 2? y ? 0, ?? y

F ? ? 2 y ? 2? z ? 0, ? z

?F? ? x2 ? y2 ? z2 ?10 ? 0, ??

求解得六个点：

A1, 5, 2, B ?1, ??5, ?2,

?

???

C 1, ? 5, 2, D ?1, 5, ?2,

????E ?2 2, 0, ? 2 ?, F ??2 2, 0, 2 ?.

由于在点 A 与 B 点处, u ? 5 5 ；在点C 与 D 处, u ? ?5 5 ；在点 E 与 F 处, u ?

0 ． 又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以umax ? 5 5 , umin ? ?5 5 ．

(18) 【解析】 (I)当0 ? x ? 1时0 ? ln(1? x) ? x ,故?ln(1? t)?? tn ,所以

n

ln t ?ln(1? t)?? ln t tn ,

n

则

ln t ?ln(1? t)?dt ? ?ln t tndt ?n ? 1, 2, 0 0 1 1 1n?1 1nn ln t tdt ? ? ln t ?tdt ? ? ln td t?? ??1 (II)

?1 n

1 ? .

,故由

2? 0

?0

n ?1 ?0

1

?n ?1?

n0 ? un ????ln t tdt ??

0

1

?n ?1?

2,

根据夹逼定理得0 ? lim un ? lim n???

?

1

n??

?n ?1??

2

2 ? 0 ,所以lim un ? 0 .

n???

(19)

【解析】(I) 因为2 f (0) ?

?0

f (x)dx ,又因为 f ? x? 在?0, 2? 上连续,所以由积分中值定

理得,至少有一点? ??0, 2? ,使得

?f ? x?dx ? f ?? ???2 ? 0??

0

2

即2 f ?0? ? 2 f ?? ? ,所以存在? ??0, 2? ,使得 f ?? ? ? f ?0? .

? f ?3? ? 2 f ?0? (Ⅱ)因为 f ?2? ,即 f ?2? ? f ?3?

2

? f ?0? ,又因为 f ? x? 在?2, 3? 上连

续,由介值定理知,至少存在一点?1 ??2,3?使得 f ??1 ? ? f ?0?.

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