2013年初中七年级数学竞赛试题
一．选择题（每小题4分，共32分） 1．x是任意有理数，则2|x|+x 的值( ).
A．大于零 B． 不大于零 C．小于零 D．不小于零
2．在－0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的数字是（ ） A．1 B．4 C．2 D．8
3．如图，在数轴上1，2的对应点A、B， A是线段BC的中点，则点C所表示的数是( )
A．2?2 B．2?2 C．2?1 D．1?2
0CA1B2x4.桌上放着4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K。两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜。则赢的机会大的一方是（ ）
A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 5．如果在正八边形硬纸板上剪下一个三角形（如图①中的阴影部分），那么图②，图③，图④中的阴影部分，均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到．要得到图②，图③，图④中的阴影部分，依次进行的变换不可．．行的是（ ） ．
图①
Ａ．平移、对称、旋转 Ｃ．平移、旋转、旋转 6．计算：(1?图②
Ｂ．平移、旋转、对称 Ｄ．旋转、对称、旋转
图③ 图④
1111)(1?)(1?)???(1?)等于（ ） 22222342007100410032008A． B． C．
200720072007 D．
2006 20077．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等。图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）
(1)(2)(3)
A. 3个球 B. 4个球 C. 5个球 D. 6个球
8．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；?；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．19 二．填空题（每题4分，共28分）
9．定义a*b=ab+a+b,若3*x=31，则x的值是_____。
1
10．当x=-7时，代数式ax?bx?cx?3的值为7，其中a、b、c为常数，当x=7时，这个代数式的值是 。
11．若A、B、C、D、E五名运动员进行乒乓球单循环赛（即每两人赛一场），比赛进行一段时间后，进行过的场次数与队员的对照统计表如下： 选手 已赛过的场次数 A 4 B 3 C 2 D 1 E 2 753
那么与E进行过比赛的运动员是 。
12．如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则代数值a+b2+c3 的值为 。
13. 已知 S＝12－22＋32－42＋??＋20052－20062＋20072，则S除以2005的余数是_____________．
14．长度相等而粗细不同的两支蜡烛，其中一支可燃3小时，另一支可燃4小时。将这两支蜡烛同时点燃，当余下的长度中，一支是另一支的3倍时，蜡烛点燃了___________小时.
nk15．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为2（其中k是nk使2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
26
11 ?
第二次 第一次 第三次
若n＝49，则第449次“F运算”的结果是_____________．
三．解答题（共60分,要求写出解题的主要步骤） 16.（本题满分10分）
某夏令营共8名营员，其中3人来自甲校，3人来自乙校，2人来自丙校．在一项游乐活动中，他们分乘4辆2座位的游乐车．为加强校际间交流，要求同一学校的营员必须分开乘车，每一辆车上的营员必须来自不同的学校．问这能够做到吗？若能，请设计一个乘车方案；若不能，请说明理由．
F②
13 F① 44
F②
17．（本题满分10分）
如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？
A A A
B C B C B
A A
B C B C
C
2
18．（本题满分12分）
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称
这个正整数为“神秘数”．如：
4=22-02，
12=42-22，
20=62-42，
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1) 28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？ (2) 设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什
么？
(3) 两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 19．（本题满分14分）
将正整数按右表所示的规律排列，并把排在左起第m列，上起第n行的数记为以amn，
(1)试用m表示am1，用n表示a1n。 (2)当m=10，n=12时，求amn的值。
20．（本题满分14分）
三位男子A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子就不知道了，只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位丈夫都比自己的妻子多花48元钱，又知A比b多买9件商品，B比a多买7件商品。试问：究竟谁是谁的妻子？
3
2013年初中七年级数学竞赛参考答案
一、选择题（每小题4分，共32分）
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 C 8 D 二、填空题（每小题4分，共28分）
9.7 10.-13 11.A和B 12.14 13.3 14.三、解答题：
16.（本题满分10分） 解：能．乘车方案如下：
8 15.98 3 17．（本题满分10分） 解：略 18．（本题满分12分）
解：(1) 找规律： 4=4×1=22-02，
12=4×3=42-22， 20=4×5=62-42， 28=4×7=82-62， ??
2 012=4×503=5042-5022，所以28和2 012都是神秘数． 6分
(第(1)问评分注：只要写出28=82-62(或2 012=5042-5022)就可得3分；确定28和2 012是神秘数但没有理由，各得1分)
(2) (2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，
因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数． 8分
(3) 由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2k+1是奇数， 因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数． 9分
另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1，则(2n+1)2-(2n-1)2=8n， 10分 即两个连续奇数的平方差是8的倍数．
因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数． 12分
(第(3)问评分注：通过几个特例来说明两个连续奇数的平方差不是神秘数，可以得2分；只有猜想“两个连续奇数的平方差不是神秘数”也得1分) 19．（本题满分14分）
解：观察表中正整数的排列规律，可知：
2
(1)当m为奇数时，am1=m； 2分
2
当m为偶数时，am1=（m-1）+1； 4分
4
当n为偶数时，a2
1n=n； 6分
当n为奇数时，a2
1n=(n-1)+1． 8分
(2)当m=1O，n=12时，amn是左起第10列的上起第12行所以的数， 10分
由(1)及表中正整数的排列规律可知，上起第12行的第1个数为122
=144． 12分 第12行中，自左往右从第1个数至第12个数依次递减1，所以所求的amn为135． 14分 20．（本题满分14分）
解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品．
于是有x2-y2
=48，即(x十y)(x-y)=48． 4分
因x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性， 又x+y>x-y，48=24×2=12×4=8×6，
∴??x?y?24或??x?y?2?x?y?12或??x?y?4?x?y?8． 7分
?x?y?6可得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1． 9分 符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件． 同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件． 所以C买了7件，c买了11件． 12分 由此可知三对夫妻的组合是：A、c；B、b；C、a． 14分
5
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