16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)
2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)
一、情境导入
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．
问题2：上面得到的式子3，S，65，h
分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 5
二、合作探究
探究点一：二次根式的定义
下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； 3(4)13；(5)11－；(6)3－x(x≤3)； 56
(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)．
解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．
解：因为11，（－7）2，11－＝56
1
，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）230
3(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.13的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．
方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．
探究点二：二次根式有意义的条件
【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围
求使下列式子有意义的x的取值范围． (1)
3－xx＋51
；(2)；(3).
xx－24－3x
解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列
不等式(组)求解．
441
解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜.当x＜时，有意义；
334－3x
??3－x≥0，3－x
(2)由题意得?解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义；
x－2?x－2≠0，??x＋5≥0，?x＋5
(3)由题意得?解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，有意义．
x?x≠0，?
方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a、b满足2a＋8＋|b－3|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1； (2)已知x、y都是实数，且y＝x－3＋3－x＋4，求yx的平方根．
解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根．
?2a＋8＝0，?a＝－4，
解：(1)根据题意得?解得?则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，
?b－3＝0，?b＝3.解得x＝4；
??x－3≥0，
(2)根据题意得?解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±64＝±8，∴yx的平方根
?3－x≥0，?
为±8.
方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题
先观察下列等式，再回答下列问题．
①②③111111＋2＋2＝1＋－＝1； 1211＋12111111＋2＋2＝1＋－＝1； 2322＋16111111＋2＋2＝1＋－＝1. 3433＋112
111＋2＋2的结果； 45
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n的式子表示的等式(n为正整数)．
解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．
解：(1)(2)
111111＋2＋2＝1＋－＝1； 4544＋120
11111
1＋2＋＝1＋－＝1(n为正整数)． n（n＋1）2nn＋1n（n＋1）
方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅
读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
三、板书设计
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数；a有意义?a≥0.
通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．
第2课时 二次根式的性质
1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)
一、情境导入
a2等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a2的值，看看有什么规律．
22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；… 你能概括一下a2的值吗？
二、合作探究
探究点一：二次根式的性质
【类型一】 利用a2＝|a|、(a)2＝a进行计算 化简： (1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2. 解析：根据二次根式的性质进行计算即可．
解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.
方法总结：利用a2＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．
【类型二】 (a)2＝a(a≥0)的有关应用 在实数范围内分解因式．
(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4. 解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．
解：(1)a2－13＝a2－(13)2＝(a＋13)(a－13)； (2)4a2－5＝(2a)2－(5)2＝(2a＋5)(2a－5)；
(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2. 方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．
探究点二：二次根式性质的综合应用
【类型一】 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a
－b|.
解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．
【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋
（c－b－a）2.
解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.
方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．
【类型三】 利用分类讨论的思想对二次根式进行化简 已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2. 解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答． 解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1
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