1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）
[A 基础达标]
1．函数y＝(x＋1)(x－1)在x＝1处的导数等于( ) A．1 C．3
2
2
2
B．2 D．4
解析：选D.y′＝[(x＋1)]′(x－1)＋(x＋1)(x－1)′ ＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1) ＝3x＋2x－1， 所以y′|x＝1＝4.
2．函数y＝cos(－x)的导数是( ) A．cos x C．－sin x
B．－cos x D．sin x
2
2
解析：选C.法一：[cos(－x)]′＝－sin(－x)·(－x)′＝sin(－x)＝－sin x. 法二：y＝cos(－x)＝cos x，
所以[cos(－x)]′＝(cos x)′＝－sin x.
3．(2018·郑州高二检测)若f(x)＝x－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( ) A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)
B．(－1，0)∪(2，＋∞) D．(－1，0)
2
42（x－2）（x＋1）
解析：选C.因为f′(x)＝2x－2－＝，又x>0，所以f′(x)>0即xxx－2>0，解得x>2.
e2k4．对于函数f(x)＝2＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于( )
xxxeA. 2eC．－ 2
xeB. 3eD．－ 3
e（x－2）12k解析：选A.因为f′(x)＝＋＋2，所以f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k3
xxxe
＝，故选A. 2
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2ef′(1)＋3ln x，则f′(1)＝( )
A．－3
B．2e
x 1
C.
2
3
1－2e
D.
1－2e
解析：选D.因为f′(1)为常数， 所以f′(x)＝2exf′(1)＋3x，
所以f′(1)＝2ef′(1)＋3， 所以f′(1)＝3
1－2e
.
6．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________． 解析：因为f′(x)＝[log3(2x－1)] ′＝ 1（2x－1）ln 3(2x－1)′＝2
（2x－1）ln 3，
所以f′(2)＝23ln 3.
答案：
23ln 3
7．已知函数f(x)＝ax4
＋bx2
＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝________. 解析：法一：由f(x)＝ax4
＋bx2
＋c，得
f′(x)＝4ax3＋2bx.
因为f′(1)＝2， 所以4a＋2b＝2， 即2a＋b＝1.
则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2. 法二：因为f(x)是偶函数， 所以f′(x)是奇函数， 所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 答案：－2
x8．已知f(x)＝e
x，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．
（ex）′x－exx′ex解析：因为f′(x)＝（x－x2＝1）
x2
(x≠0)． 所以由f′(x0)＋f(x0)＝0， exx得0（x0－1）e0x2
＋＝0. 0x0
解得x10＝2
.
2
1答案： 2
9．求下列函数的导数： (1)y＝cos(1＋x)； π?2?(2)y＝sin?2x＋?； 3??(3)y＝ln(2x＋x)； (4)y＝x·2x－1.
解：(1)设u＝1＋x，y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x)′ ＝－sin u·2x＝－2xsin(1＋x)． π2
(2)设y＝u，u＝sin v，v＝2x＋，
3则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2 ＝4sin v·cos v
2π??＝2sin 2v＝2sin?4x＋?. 3??(3)设u＝2x＋x，则y′x＝y′u·u′x ＝(ln u)′·(2x＋x)′ 14x＋1
＝·(4x＋1)＝2. u2x＋x(4)y′＝x′·2x－1＋x·(2x－1)′. 先求t＝2x－1的导数． 1设u＝2x－1，则t＝u2，
11－t′x＝t′u·u′x＝·u2·(2x－1)′
2111＝××2＝ . 22x－12x－1所以y′＝2x－1＋2
2
2
2
2
2
2
x3x－1
＝ . 2x－12x－1
2
10．已知抛物线y＝ax＋bx＋c通过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．
解：因为曲线y＝ax＋bx＋c过点P(1，1)， 所以a＋b＋c＝1.① 因为y′＝2ax＋b，
3
2
所以4a＋b＝1.②
又因为曲线过点Q(2，－1)， 所以4a＋2b＋c＝－1.③ 联立①②③，
解得a＝3，b＝－11，c＝9.
[B 能力提升]
11．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．2 C．2
126
B．2 D．2
15
9
解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－
a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为
等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝8＝2.
12．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成
4
12
?π?立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在?0，?上不是凸函数的是( )
2??
A．f(x)＝sin x＋cos x C．f(x)＝－x＋2x－1
3
B．f(x)＝ln x－2x D．f(x)＝－xe
－x?π?解析：选D.若f(x)＝sin x＋cos x，则f″(x)＝－sin x－cos x，在x∈?0，?上，
2??
1?π?恒有f″(x)<0；若f(x)＝ln x－2x，则f″(x)＝－2，在x∈?0，?上，恒有f″(x)<0；
2?x?
?π?3
若f(x)＝－x＋2x－1，则f″(x)＝－6x，在x∈?0，?上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝－
2??
xe
－
x，则f″(x)＝2e
－x－xe
－x＝
?π?－x(2－x)e，在x∈?0，?上，恒有f″(x)>0，不是凸函数．
2??
13．已知曲线y＝e·cos 3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程．
解：因为y′＝(e)′·cos 3x＋e·(cos 3x)′＝2e·cos 3x－3e·sin 3x， 所以y′|x＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y－1＝2(x－0)， 即y＝2x＋1.
设符合题意的直线方程为y＝2x＋b，
2x2x2x2x2x 4
根据题意，得5＝
|b－1|
，解得b＝6或－4. 5
所以符合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 14．(选做题)已知函数f(x)＝ax＋ln x的导数为f′(x)． (1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax＋ln x， 1
得f′(x)＝2ax＋，
2
2
x所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在
x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
x1
即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正实数解，
1
x即2ax＝－1有正实数解，
故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
2
5
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