2020-2021备战中考数学专题训练 - 初中数学 旋转的综合题分类附详细答案

2020-2021备战中考数学专题训练---初中数学 旋转的综合题分类附详细答案

一、旋转

1．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b． （1）如图1，当a＝42时，求b的值；

（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；

（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．

【答案】（1）42；（2）b＝8；（3）ab＝32． 【解析】

试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝42 ，∠ACB＝45°． 再CE＝a＝42，可得∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC； （2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得； （3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.

试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝42 ，∠ACB＝45°． ∵CE＝a＝42，∴∠CAE＝∠AEC＝

45?＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，2∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42；

（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC＝∠AEC．

又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴8，即b＝8． （3）ab＝32．

提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴

ACCF42CF?，∴，∴CF＝?ECCA442ACCF42b?，∴，∴ab＝32． ?ECCAa42

2．如图1，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重合），以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC，∠BAC=90°，连接BE、CD． （1）在图1中，若AC=AB，AE=AD，现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图2，那么线段BE．CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；

（2）在图1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图3，连接BD、CE． ①求证：△ABE∽△ACD； ②计算：BD2+CE2的值．

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170． 【解析】 【分析】

（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题； （2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD．

②由①得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算． 【详解】

（1）结论：BE=CD，BE⊥CD．

理由：设BE与AC的交点为点F，BE与CD的交点为点G，如图2．

∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．

?AB?AC?在△CAD和△BAE中，∵??BAE??CAD，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE，

?AE?AD?∠ACD=∠ABE．

∵∠BFA=∠CFG，∠BFA+∠ABF=90°，∴∠CFG+∠ACD=90°，∴∠CGF=90°，∴BE⊥CD． （2）①设AE与CD于点F，BE与DC的延长线交于点G，如图3．

∵∠CABB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．

AEAD==2，∴△ABE∽△ACD； ABAC②∵△ABE∽△ACD，∴∠AEB=∠CDA．

∵CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴

∵∠AFD=∠EFG，∠AFD+∠CDA=90°，∴∠EFG+∠AEB=90°，∴∠DGE=90°，∴DG⊥BE，∴∠AGD=∠BGD=90°，∴CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2． ∵CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170．

【点睛】

本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．

3．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．

（1）求证：图1中的 PBC是正三角形：

（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN． ①求证：IH=IJ ②请求出NJ的长；

（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12-63（3）33＜a＜43，a＞43 【解析】

分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=3x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可． （1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF ∴PB=PC

∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处 ∴PB=BC ∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形： （2）证明：①如图

∵矩形AHIJ ∴∠H=∠J=90° ∵△MNJ是等边三角形 ∴MI=NI

在Rt△MHI和Rt△JNI中

?MI?NI ??MH?NJ∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL） ∴HI=IJ

②在线段IJ上取点Q，使IQ=NQ

∵Rt△IHM≌Rt△IJN， ∴∠HIM=∠JIN， ∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°， ∴∠HIM=∠JIN=15°， 由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°， ∴∠NQJ=30°，

设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=QN2?NJ2=3x， ∵IJ=6cm， ∴2x+3x=6，

∴x=12-63，即NJ=12-63（cm）． （3）分三种情况： ①如图：

设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6， 则tan60°=3=ab， 2∴a=

3b， 263=33； 2∴0＜b≤②如图

当DF与DC重合时，DF=DE=6，