2017~2018高二下学期第一次段考理科数学试题
命题人：李维、吴以浩
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数求导运算正确的个数为 x.
A. 1 2. 函数是 B. 2
的导函数C. 3
的图象如右图所示，则函数D. 4 的图象可能①(3x)′＝3xlog3e；
ππ
sin ?′＝cos； ③??3?3
1?④??ln x?′＝
1
②(log2x)′＝；
x·ln 2
A. B. C. D.
3. 已知函数的导函数 B. C. D.
，若在处取到极大值，则的取值范围是
A. 4. 曲线
A.
与直线 B. 及 所围成的封闭图形的面积为C. D.
x2y2??1，给定下列两个命题： 5. 已知曲线C的方程为25?kk?9p:若9?k?25，则曲线C为椭圆；q:若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k?9．
那么，下列命题中，真命题是
A. p?q B. p?(?q) C. (?p)?q D.
(?p)?(?q) 6. 若函数
A. 7. 设函数则下列结论正确的是
A.
8. 曲线
A.
上的点到直线B. C. 的最短距离是 D. B. C. D.
B. 在 上是增函数，则的取值范围是C. 有三个零点 ，，，且D. ，9. 某堆雪在融化过程中，其体积（单位：关系：始到结束的平均融化速度为中的 （）与融化时间（单位：）近似满足函数为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开．那么，瞬时融化速度等于的时刻是图 A. B. 是奇函数 C. D. ，当 时，
10. 设函数的导函数，成立的的取值范围是B. ，则使得
A. C. D.
?lnx, 0?x?e??x11. 已知函数f?x???，若a?b?c,且f?a??f?b??f?c?，则13??x?, x?e2?2e?2eblna?c的取值范围是alnb
A. ?e,3e? B. ??3e,?e? C. ?1,3e? D.
??3e,?1? 12. 已设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a?1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)?0，则a的取值范围是
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 定积分的值为．
A. [? B. [?3，1) 2e33,) 2e4C. [33,) 2e4D. [3，1) 2eB?14. 已知三棱锥A?BCD中，AB?平面BCD，AC?CD，且A则三棱锥A?BCD的外接球的表面积为． 15. 若直线与曲线22,BCC?D?1，相切，则．
y2?1右支上一点，M,N分别是圆(x?4)2?y2?4和16.P是双曲线x?15(x?4)2?y2?4上的点，则PM?PN的最大值为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题10分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为Vm2.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m3，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． （1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
18. (本小题12分)已知，．
．经计算得，，（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
19. (本小题12分)如图，在三棱柱
，点是线段的中点．
中，，
（1）证明：
（2）若，； ，求二面角的余弦值．
20. (本小题12分)设函数（1）若（2）若当，求时的单调区间；
．
，求的取值范围．
的离心率是与椭圆相交于，两点．
，且过点21. (本小题12分)已知椭圆．直线（1）求椭圆的方程； （2）设直线加以证明．
22. (本小题12分)已知函数．
，，分别与轴交于点，．判断，的大小关系，并，其中．设（1）若区间； （2）若
在处取得极值，且，求函数的单调时，函数有两个不同的零点，．
①求的取值范围； ②求证：．
2017~2018高二下学期第一次段考理科数学答案
命题人：李维、吴以浩
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
ADBBC DDACB AD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，………………………………1分
所
以
h
＝
15r
(300
－
13.
14.4? 15. 16. 5
4r2)，…………………………………………………………………………………2分
从
而
V(r)
＝
πr2h
＝
π5
(300r
－
4r3)．………………………………………………………………………4分
因r>0，又由h>0可得r<53， 故
函
数
V(r)
的
定
义
域
为
(0,53)．………………………………………………………………………5分
(2)
因
V(r)
＝
π5
(300r
－
4r3)
，
故
V′(r)
＝
π5
(300
－
12r2)，………………………………………………6分
令V′(r)＝0，解得r1＝5.r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．……………………………7分
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