导数与函数极值和最值-高考数学一轮复习基础练习试题训练

3.3 导数与函数极值和最值

A组 基础题组

1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A.y=x B.y=ln(-x) C.y=xe D.y=x+ 3

-x

答案 D A选项中,函数y=x单调递增,无极值,B,C选项中的函数都不是奇函数,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.

2.函数f(x)=x+ax+(a-3)x(a∈R)的导函数是f '(x),若f '(x)是偶函数,则以下结论正确的是( ) A.y=f(x)的极大值为1 B.y=f(x)的极大值为-2 C.y=f(x)的极小值为2 D.y=f(x)的极小值为-2

答案 D 由题意可得, f '(x)=3x+2ax+a-3,∵f '(x)是偶函数,∴f '(-x)=f '(x),∴a=0,∴f(x)=x-3x, f '(x)=3x-3,易知f(x)在x=-1处取极大值2,在x=1处取极小值-2,故选D.

3.有一个10 cm×16 cm的矩形纸板,四个角各被截去了一个大小相同的小正方形,剩下的部分做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( ) A.12 cm B.72 cm C.144 cm

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2

2

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3

2

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D.160 cm

3

3

答案 C 设盒子的容积为y cm,盒子的高为x cm,则x∈(0,5). 则y=(10-2x)(16-2x)x=4x-52x+160x,

所以y'=12x-104x+160.令y'=0,得x=2或x=3(舍去). 当x<2时,y'>0,当x>2时,y'<0, 所以当x=2时,ymax=6×1 × =144. 故盒子容积的最大值为144 cm.

4.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )

3

2

3

2

0

答案 D 不妨设导函数y=f '(x)的零点依次为x1,x2,x3,其中x1<00,排除B,故选D. 5.若函数f(x)=3x+x-3在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是( ) A.[-5,0) C.[-3,0)

B.(-5,0) D.(-3,0)

2

1

32

答案 C 由题意知, f '(x)=x+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,- ),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,

0,解得令3x+x-3=-3,得x=0或x=-3,则结合图象可知, -3 a∈[-3,0). 5 0,

1

3

2

6.函数f(x)=xsin x+cos x在 , 上的最大值为 .

6

答案

解析 因为f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x, 所以f '(x)=0在x∈ 6, 上的解为x= .

易知f(x)在 6, 上单调递增,在 , 上单调递减, 所以函数f(x)=xsin x+cos x在 6, 上的最大值为f = .

7.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-3x+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件. 答案 9

解析 y'=-x+81,令y'=0,得x=9或x=-9(舍去).当00,函数单调递增;当x>9时,y'<0,函数单调递减.故当x=9时,y取最大值.

8.已知函数f(x)=x-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是 . 答案 6

解析 依题意, f(x)的单调递减区间为(-1,1).

3

2

1

3

由f '(x)=3x-3a=3(x- ) (x+ ) 和f '(1)=0, 可得a=1,

由f(x)=x-3ax+b在x=1处取得极小值2. 可得1-3+b=2,故b=4.

所以f(x)=x-3x+4的极大值为f(-1), f(-1)=(-1)-3×(-1)+4=6.

9.(2018台州高三期末)已知函数f(x)=x-3x+ln x,则f(x)在区间 , 上的最小值为 ;当f(x)

2

333

2

1

取到最小值时,x= . 答案 -2;1

解析 由题意知f '(x)=2x-3+ =

1 -3x 1

(x>0),令f '(x)=0,得x= 或x=1,当x∈ ,1 时, f '(x)<0,当

1

11

x∈[1, ]时, f '(x)>0,所以f(x)在区间 ,1 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,所以当x=1时, f(x)在区间 , 上取得极小值,也为最小值,最小值为-2.

1

10.已知函数f(x)=ln x-ax+x,a∈R.

1

2

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程; (2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值. 解析 (1)当a=0时, f(x)=ln x+x,则f(1)=1, ∴切点为(1,1),

又f '(x)= +1,∴切线斜率k=f '(1)=2, 故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

(2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x- ax+(1-a)x+1(x>0), 则g'(x)=-ax+(1-a)=

1

- (1-a)x 1

1

2

1

,

当a≤0时,∵x>0,∴g'(x)>0,

∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,此时函数g(x)无极值点. 当a>0时,g'(x)=

- (1-a)x 1

=-

- (x 1)

1

,

令g'(x)=0得x= .

∴当x∈ 0, 时,g'(x)>0;当x∈ , ∞ 时,g'(x)<0,

1

1

1

因此g(x)在 0, 上是增函数,在 , ∞ 上是减函数.

∴x= 时,g(x)有极大值,g =ln - × +1= -ln a. +(1-a)· 综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;

当a>0时,函数g(x)有极大值-ln a,无极小值.

1

1

1

1 1

1

1

11

11.已知函数f(x)=x+|x-a|(a∈R).

(1)当a=1时,求f(x)在(0, f(0))处的切线方程;

(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示). 解析 (1) 当a=1,x<1时, f(x)=x+1-x, f '(x)=3x-1, 所以f(0)=1, f '(0)=-1,

所以f(x)在(0, f(0))处的切线方程为y=-x+1.

3

3

2

3

(2) 当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=

2

x-a,a x 1,3

-x a,-1 x .

当a≤x≤1时,由f '(x)=3x+1>0,知f(x)在[a,1]上单调递增. 当-1≤x

(i)当a∈ ,1 时, f(x)在 -1,- 上递增,在 -33易知f(x)min=min (-1), , - 3 =min 3 3 3 3

3 3 3 3 3, 上递减,在 ,1 上递增, 333

2

=a-

3

.

3,a 上递减,在(a,1)上递增, 3

(ii)当a∈ 0,3 时, f(x)在 -1,-3 上递增,在 -易知f(x)min=min{f(-1), f(a)}=min{a,a}=a. ,a∈ ,1 ,

3 综上所述, f(x)min=

3 3

,a∈ 0,3 .12.已知a∈R,函数f(x)=+aln x.

3

3

- 3 3(1)若函数f(x)在(0,2)上递减,求实数a的取值范围; (2)当a>0时,求f(x)的最小值g(a)的最大值;

(3)设h(x)=f(x)+|(a- )x|,x∈[1,+∞),求证:h(x)≥ .

解析 (1) 函数f(x)在(0,2)上递减??x∈(0, ), f '(x)≤0恒成立??x∈(0, ), f '(x)= ≤0恒 成立??x∈(0, ),a≤ 恒成立,又 >1,所以a≤1.

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