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2021版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二

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第2讲 一元二次不等式及其解法

一、知识梳理

1.一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集

b???a???b?

(2)当a<0时,解集为?x?x

??a?

?(1)当a>0时,解集为?x?x>?.

?

2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b-4ac 二次函数 2Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx +c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax+bx 根x1,x2(x1 +c=0(a>0) x2 >0(a>0) 或x0) 的解集

1

{x|x1

1.分式不等式的解法 (1)

f(x)

>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0).

g(x)

??f(x)g(x)≥0(≤0),f(x)

(2)≥0(≤0)?? g(x)?g(x)≠0.?

2.记住两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2

??a>0,

+bx+c>0对任意实数x恒成立??2

?b-4ac<0.???a<0,

+bx+c<0对任意实数x恒成立??2

?b-4ac<0.?

(2)一元二次不等式ax二、习题改编

2

1.(必修5P80练习T1改编)不等式2x-x-3>0的解集为 .

??3?

答案:?x?x>或x<-1?

??2?

2

2.(必修5P80A组T3改编)若关于x的一元二次方程x-(m+1)x+m+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 .

答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若不等式ax+bx+c<0(a≠0)的解集为(x1,x2),则必有a>0.( )

(2)若方程ax+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax+bx+c>0的解集为R.( ) (3)不等式ax+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b-4ac≤0.( ) (4)若二次函数y=ax+bx+c的图象开口向下,则不等式ax+bx+c<0的解集一定不是空集.( )

答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏

常见误区(1)解不等式时变形必须等价; (2)注意二次项的系数的符号;

(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1.不等式-x-2x+3≥0的解集为 .

解析:不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x+2x-3≤0. 方程x+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.

而y=x+2x-3的图象开口向上,可得原不等式-x-2x+3≥0的解集是{x|-3≤x≤1}.

答案:{x|-3≤x≤1}

2.不等式2x(x-7)>3(x-7)的解集为 .

3

解析:2x(x-7)>3(x-7)?2x(x-7)-3(x-7)>0?(x-7)(2x-3)>0,解得x<或x>7,

2

??3

所以原不等式的解集为?x|x<或x>7?.

2??

??3

答案:?x|x<或x>7?

2??

2

2

2

2

2

3.对于任意实数x,不等式mx+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是 . 解析:当m=0时,mx+mx-1=-1<0,不等式恒成立;当m≠0时,由

2

2

{m<0,Δ=m2+4m<0,解得-4

答案:(-4,0]

一元二次不等式的解法(师生共研)

??x+2x,x≥0,

(1)已知函数f(x)=?2则不等式f(x)>3的解集为 .

?-x+2x,x<0,??11?22

(2)已知不等式ax-bx-1>0的解集是?x|-

23??

2

是 .

(3)解关于x的不等式:12x-ax>a(a∈R).

???x≥0,?x<0,

?【解】 (1)由题意2或?2解得x>1.故填{x|x>1}. ?x+2x>3??-x+2x>3,?

2

2

112

(2)由题意,知-,-是方程ax-bx-1=0的两个根,且a<0,所以

23

3

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