第2讲 一元二次不等式及其解法
一、知识梳理
1.一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
b???a???b?
(2)当a<0时,解集为?x?x.
??a?
?(1)当a>0时,解集为?x?x>?.
?
2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b-4ac 二次函数 2Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx +c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax+bx 根x1,x2(x1 +c=0(a>0)
1
{x|x1 1.分式不等式的解法 (1) f(x) >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0). g(x) ??f(x)g(x)≥0(≤0),f(x) (2)≥0(≤0)?? g(x)?g(x)≠0.? 2.记住两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2 ??a>0, +bx+c>0对任意实数x恒成立??2 ?b-4ac<0.???a<0, +bx+c<0对任意实数x恒成立??2 ?b-4ac<0.? (2)一元二次不等式ax二、习题改编 2 1.(必修5P80练习T1改编)不等式2x-x-3>0的解集为 . ??3? 答案:?x?x>或x<-1? ??2? 2 2.(必修5P80A组T3改编)若关于x的一元二次方程x-(m+1)x+m+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若不等式ax+bx+c<0(a≠0)的解集为(x1,x2),则必有a>0.( ) (2)若方程ax+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax+bx+c>0的解集为R.( ) (3)不等式ax+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b-4ac≤0.( ) (4)若二次函数y=ax+bx+c的图象开口向下,则不等式ax+bx+c<0的解集一定不是空集.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏 常见误区(1)解不等式时变形必须等价; (2)注意二次项的系数的符号; (3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.不等式-x-2x+3≥0的解集为 . 解析:不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x+2x-3≤0. 方程x+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1. 而y=x+2x-3的图象开口向上,可得原不等式-x-2x+3≥0的解集是{x|-3≤x≤1}. 答案:{x|-3≤x≤1} 2.不等式2x(x-7)>3(x-7)的解集为 . 3 解析:2x(x-7)>3(x-7)?2x(x-7)-3(x-7)>0?(x-7)(2x-3)>0,解得x<或x>7, 2 ??3 所以原不等式的解集为?x|x<或x>7?. 2?? ??3 答案:?x|x<或x>7? 2?? 2 2 2 2 2 3.对于任意实数x,不等式mx+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是 . 解析:当m=0时,mx+mx-1=-1<0,不等式恒成立;当m≠0时,由 2 2 {m<0,Δ=m2+4m<0,解得-4 答案:(-4,0] 一元二次不等式的解法(师生共研) ??x+2x,x≥0, (1)已知函数f(x)=?2则不等式f(x)>3的解集为 . ?-x+2x,x<0,??11?22 (2)已知不等式ax-bx-1>0的解集是?x|- 23?? 2 是 . (3)解关于x的不等式:12x-ax>a(a∈R). ???x≥0,?x<0, ?【解】 (1)由题意2或?2解得x>1.故填{x|x>1}. ?x+2x>3??-x+2x>3,? 2 2 112 (2)由题意,知-,-是方程ax-bx-1=0的两个根,且a<0,所以 23 3
相关推荐: