2021版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二

第2讲 一元二次不等式及其解法

一、知识梳理

1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集

b???a???b?

(2)当a<0时，解集为?x?x

??a?

?(1)当a>0时，解集为?x?x>?．

?

2．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b－4ac 二次函数 2Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax＋bx 根x1，x2(x1 ＋c＝0(a>0) x2 >0(a>0) 或x0) 的解集

1

{x|x1

1．分式不等式的解法 (1)

f（x）

>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)．

g（x）

??f（x）g（x）≥0（≤0），f（x）

(2)≥0(≤0)?? g（x）?g（x）≠0.?

2．记住两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2

??a>0，

＋bx＋c>0对任意实数x恒成立??2

?b－4ac<0.???a<0，

＋bx＋c<0对任意实数x恒成立??2

?b－4ac<0.?

(2)一元二次不等式ax二、习题改编

2

1．(必修5P80练习T1改编)不等式2x－x－3>0的解集为 ．

??3?

答案：?x?x>或x<－1?

??2?

2

2．(必修5P80A组T3改编)若关于x的一元二次方程x－(m＋1)x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若不等式ax＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )

(2)若方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax＋bx＋c>0的解集为R.( ) (3)不等式ax＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b－4ac≤0.( ) (4)若二次函数y＝ax＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏

常见误区(1)解不等式时变形必须等价； (2)注意二次项的系数的符号；

(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况．

2

2

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2

2

2

1．不等式－x－2x＋3≥0的解集为 ．

解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x＋2x－3≤0. 方程x＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.

而y＝x＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．

答案：{x|－3≤x≤1}

2．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为 ．

3

解析：2x(x－7)>3(x－7)?2x(x－7)－3(x－7)>0?(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，

2

??3

所以原不等式的解集为?x|x<或x>7?.

2??

??3

答案：?x|x<或x>7?

2??

2

2

2

2

2

3．对于任意实数x，不等式mx＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是 ． 解析：当m＝0时，mx＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由

2

2

{m<0，Δ＝m2＋4m<0，解得－4

答案：(－4，0]

一元二次不等式的解法(师生共研)

??x＋2x，x≥0，

(1)已知函数f(x)＝?2则不等式f(x)>3的解集为 ．

?－x＋2x，x<0，??11?22

(2)已知不等式ax－bx－1>0的解集是?x|－

23??

2

是 ．

(3)解关于x的不等式：12x－ax>a(a∈R)．

???x≥0，?x<0，

?【解】 (1)由题意2或?2解得x>1.故填{x|x>1}． ?x＋2x>3??－x＋2x>3，?

2

2

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(2)由题意，知－，－是方程ax－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以

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