第一章 本章小结
一、求函数的导数及导数的几何意义
利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意： (1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上；
(2)1°若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2°若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，① 又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 【例1】 求函数y＝ln1－sinx
的导数．
1＋sinx
【分析】 采用先化简后求导的方法来求解． 1
【解】 ∵y＝2[ln(1－sinx)－ln(1＋sinx)]，
?111????1－sinx?′－?1＋sinx?′∴y′＝2?? 1－sinx1＋sinx??
cosx?1?－cosx
－＝2??
1－sinx1＋sinx
??
1－cosx?1＋sinx＋1－sinx?＝2·＝－secx. 2
1－sinx
【例2】 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
【分析】 直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．
【解】 (1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，又f′(－1)＝0， ∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．因为直线m恒过定点(0,9)，先求过点(0,9)与曲线y＝g(x)相切的直线方程．
设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又g′(x0)＝6x0＋6.
2∴切线方程为y－(3x0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 22将点(0,9)代入得9－3x0－6x0－12＝－6x0－6x0， 2∴3x0－3＝0，∴x0＝±1，
当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为y＝12x＋9；
当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)， 所以切线方程为y＝9.
下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程： 由(1)得f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， ∴f′(x)＝－6x2＋6x＋12.
由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， ∴x＝0或x＝1，
当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11； 当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是公切线． 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 即有x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18； 当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9. 所以y＝9是公切线．
综上所述当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线． 二、函数的单调性
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．
【例3】 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围． a【解】 (1)因为f′(x)＝＋2x－10，x＝3是极值点，
1＋xa
所以f′(3)＝4＋6－10＝0，因此a＝16.
(2)由(1)知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，f′(x)＝2?x2－4x＋3?
，
1＋x
当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(1,3)时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)，f(x)的单调减区间是
(1,3)．
(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)内单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21，
因此f(16)＝16ln17＋162－10×16>16ln2－9＝f(1)， f(e－2－1)<－32＋11＝－21 所以在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y＝b和y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3) 三、函数的极值与最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得； ②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
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