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中考总复习：圆综合复习—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1．（2015?杨浦区三模）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2
2．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( ) A．1?33?21?5 B．2 C． D． 2323．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，
则⊙C与AB的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
第2题 第3题 第5题
4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( )
A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含
5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( ) A．19 B．16 C．18 D．20
6．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为( )
A．2 B．2 C．1 D．2 2
二、填空题 7．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______． 8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接
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缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．
第7题 第8题 第9题
9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，OA与OC关于点O中心对称，则AB、BC、CO、OA所围成的面积是________cm．
10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm．
11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．
2
第10题 第11题 12．（2015?安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn； ④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是 ．
三、解答题 13．（2015?滕州市校级模拟）如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上． （1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离； （3）若
，求
的值．
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14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE． (1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小； (2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． (1)证明：AF平分∠BAC； (2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．
(1)证明：直线PB是⊙O的切线；
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明； (3)求sin∠OPA的值．
【答案与解析】 一、选择题
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1.【答案】D ；
【解析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离， 当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2； 当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8． 故选D． 2.【答案】A ；
【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E，F，连接BD，
则AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2， 设AE＝x，则AD＝2+2x． 由△ABE∽△ADB可得
AEAB， ?ABAD即
?1?3x1，解得x?． ?212?2x1?3． 2 ∴ AD＝2+2x＝1+3，则OA?3.【答案】B ；
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，
在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°， ∴ CD＝
11BC＝?4?2(cm)．
22 又⊙C的半径为2cm，
∴ d＝r．
∴ 直线AB与⊙C相似． 4.【答案】A ；
【解析】因为AO1＝3，所以点A在圆O1上，又因为点A在圆O2上， 所以圆O1与圆O2的位置关系是相交或相切． 5.【答案】D ；
【解析】延长AO交BC于D点，过O作OE⊥BD于E． ∵ ∠A＝∠B＝60°，∴ ∠ADB＝60°． ∴ △DAB是等边三角形，BD＝AB＝12．
在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，
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∴ DE＝OD·cos 60°＝4?1?2，∴ BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20． 26.【答案】A；
【解析】过B作BB′⊥MN交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，此时PA+PB＝AB′最小． 连AO并延长交⊙O于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝
1?90°?45°， 2∴ AB??ACsin45°?1?22?． 22
二、填空题
7．【答案】120°；
【解析】连接BC，BD，则△ABC与△ABD都是等边三角形，故∠CAB＝∠DAB＝60°， 所以∠CAD＝60°+60°＝120°． 8．【答案】18 ；
【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为θ度，
则由题意
(90??)??50?2???10．
180∴ θ＝18． 9．【答案】2 ；
【解析】连接AC，因为OA与OC关于点O中心对称，所以A，O，C三点共线，S弧形AO?S弧形CO， 所以所求圆形的面积＝△ABC的面积?10．【答案】8 ；
【解析】连接OC，OA，则OC垂直平分AB，由勾股定理知AC?OA2?OC2?52?32?4， 所以AB＝2AC＝8． 11．【答案】1 ；
【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得OD＝OA＝4，2πCD＝4π，
11ABBC??2?2?2(cm2)． 22
∴ CD＝2．
则OC?OD2?CD2?42?22?23．
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x23?x， ?223设EF＝x，EC＝y，由△OEF∽△OCD得
∴ y?23?3x．
∴ S圆柱侧面积?2?xy?2?r(23?3x)??23?(x2?2x)??23?(x?1)2?23?． ∴ 当x＝1时，S有最大值23?． 12．【答案】①②；
【解析】如图
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2， 而∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴2∠1+2∠2+∠A=180°， ∴∠1+∠2=90°﹣∠A， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴180°﹣∠BOC=90°﹣∠A， ∴∠BOC=90°
∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4， 而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO， ∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO， ∴EB=EO，FC=FO， ∴BE+FC=EF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，所以②正确； 连OA，过O作OG⊥AE于G，如图， ∵点O为△ABC的内心， ∴OA平分∠BAC， ∴OG=OD=m，
∴S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE?m+AF?m=（AE+AF）?m=mn，所以③不正确； ∵EB=EO，FC=FO，
若EF是△ABC的中位线，则EB=AE，FC=AF， ∴AE=EO，AF=FO，
∴AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系，所以④不正确． 故答案为：①②．
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三、解答题
13.【答案与解析】 解：（1）连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA， ∴∠ODA=∠DAC， ∴AC∥OD， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°，
即BC是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理， 得：
作OF⊥AD于F，根据垂径定理得可证△AOF∽△ADC ∴∴
∴；
，
（3）连接ED， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵AE为直径， ∴∠ADE=90°，
∴在Rt△AED中，tan∠EAD=∵∠AED=90°，
∴∠EDB+∠ADC=90°， ∵∠DAC+∠ADC=90°， ∴∠EDB=∠DAC=∠EAD， ∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA， ∴
．
=tan∠DAC=，
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14.【答案与解析】
(1)∵ DE垂直平分AC，∴ ∠DEC＝90°．
∴ DC为△DEC外接圆的直径． ∴ DC的中点O即为圆心．
连接OE，又知BE是⊙O的切线， ∴ ∠EBO+∠BOE＝90°．
在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点， ∴ BE＝EC． ∴ ∠EBC＝∠C．
又∵ ∠BOE＝2∠C，∴ ∠C+2∠C＝90°． ∴ ∠C＝30°．
(2)在Rt△ABC中，AC?∴ EC?AB2?BC2?5，
15AC?． 22∵ ∠ABC＝∠DEC＝90°，∴ △ABC∽△DEC．
ACBC5．∴ DC?． ?DCEC45∴ △DEC外接圆的半径为．
8∴
15.【答案与解析】 (1)证明：连接OF ． ∵ FH是⊙O的切线， ∴ OF⊥FH． ∵ FH∥BC，
∴ OF垂直平分BC． ∴ BF?FC． ∴ AF平分∠BAC．
(2)证明：由(1)及题设条件可知 ∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2， ∴ ∠1+∠4＝∠2+∠3．
∴ ∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB＝FBD． ∴ BF＝FD．
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(3)解：在△BFE和△AFB中，
∵ ∠5＝∠2＝∠1，∠BFE＝∠AFB， ∴ △BFE∽△AFB． ∴
BFAF， ?FEBF7249?∴ FA?， 44∴ AD?4921?7?． 44
16.【答案与解析】
(1)证明：连接OB． ∵ BC∥OP，
∴ ∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB． 又∵ OC＝OB，∴ ∠BCO＝∠CBO． ∴ ∠POB＝∠POA． 又∵ PO＝PO，OB＝OA， ∴ △POB≌△POA．
∴ ∠PBO＝∠PAO＝90°． ∴ PB是⊙O的切线．
(2)解：2PO＝3BC．(写PO＝
3BC亦可) 2证明：∵ △POB≌△POA，∴ PB＝PA． ∵ BD＝2PA，∴ BD＝2PB． ∵ BC∥PO，∴ △DBC∽△DPO． ∴
BCBD2??， POPD3∴ 2PO＝3BC．
(3)解：∵ △DBC∽△DPO， ∴
DCBD22??，即DC?OD， DOPD33∴ DC＝2OC．
设OA＝x，PA＝y，则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y．
22222
在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)＝x+(2y)，即2x＝y． ∵ x＞0，y＞0， ∴ y?2x，OP?x2?y2?3x．
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OAx13． ???OP33x3∴ sin?OPA?
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