高中数学必修 +选修知识点归纳
新课标人教 A 版
复习寄语：
鲁甸县文屏镇中学高三第一轮复习资料
引言
1. 课程内容：
必修课程 由 5 个模块组成：
必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、
对、幂函数）
必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修 3：算法初步、统计、概率。
必修 4：基本初等函数 （三角函数）、平面向量、
选修 4—3：数列与差分。
选修 4—4：坐标系与参数方程。
选修 4—5：不等式选讲。
选修 4—6：初等数论初步。
选修 4—7：优选法与试验设计初步。
选修 4—8：统筹法与图论初步。
选修 4—9：风险与决策。
选修 4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
三角恒等变换。
必修
5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上
述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础
知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时， 进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程
有 4 个系列： 系列
1：由 2 个模块组成。 选修
1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修
1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图系列 2：由
3 个模块组成。
选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修
2—2：导数及其应用，推理与证明、数系
的扩充与复数
选修
2—3：计数原理、随机变量及其分布列，
统计案例。 系列
3：由 6 个专题组成。 选修
3—1：数学史选讲。 选修
3—2：信息安全与密码。 选修
3—3：球面上的几何。 选修
3—4：对称与群。 选修
3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修
3—6：三等分角与数域扩充。 系列
4：由 10 个专题组成。 选修
4—1：几何证明选讲。 选修 4—2：矩阵与变换。
重点： 函数，数列，三角函数，平面向量，
圆锥曲线，立体几何，导数
难点： 函数、圆锥曲线
高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑 : 集合的概念与运算、 简易逻
辑、充要条件
⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对
数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概
念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性
质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不
等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置
关系、线性规划、圆、直
线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线
与圆锥曲线的位置关系、轨
迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、
棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算- 1 -
必修 1 数学知识点
f ( x1 ) f ( x2 ) 0
f ( x) 在 [ a, b] 上是增函数；
第一章：集合与函数概念
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x) 在 [ a, b] 上是减函数 . 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格 式 ： 解 ： 设 x1 , x 2 f x1
f x 2 =,
§ 1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为 元素 ，把一些元素组成的总体
叫做 集合。集合三要素： 确定性、互异性、无序性 。
a , b 且 x1
x2 ， 则 ：
(2)导数法： 设函数 y 若 f ( x ) 若 f ( x )
f ( x) 在某个区间内可导，
0 ，则 f ( x ) 为增函数； 0 ，则 f ( x ) 为减函数 .
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等 。
§ 1.3.2、奇偶性
3、 常见集合： 正整数集合 ： N * 或 N
，整数集合 ：
1、 一般地，如果对于函数
f x 的定义域内任意一个 ，那么就称函数
y 轴对称 .
Z ，有理数集合 ： Q ，实数集合 ： R .
4、集合的表示方法： 列举法、描述法 . § 1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合
意一个元素都是集合 集合 B 的子集。记作 A
A、 B，如果集合 A 中任 B 中的元素，则称集合
B.
B ，且 x
A ，
x ，都有 fxf x
偶函数 . 偶函数图象关于
A 是
2、 一般地，如果对于函数
f x 为
f x 的定义域内任意一个
2、 如果集合 A B ，但存在元素 x
x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为
.
则称集合 A 是集合 B 的真子集 . 记作： A B.
3、把不含任何元素的集合叫做
空集合是任何集合的子集
奇函数 . 奇函数图象关于原点对称
知识链接：函数与导数
空集 .记作： .并规定： .
A 有 2 n 个子
1、函数 y f ( x ) 在点 x0 处的导数的几何意义：
4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合
函数 y f ( x ) 在点 x 0 处的导数是曲线 y
集， 2 n 1 个真子集 .
f ( x ) 在
P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 f ( x 0 ) ，相应的切线方
§ 1.1.3、集合间的基本运算
程是 y
A 或集合 B 的元素组成
B . B .
y 0 f ( x0 )( x x 0 ) .
1、 一般地，由所有属于集合
的集合，称为集合 组成的集合，称为
3、全集、补集 ？ C U A
2、几种常见函数的导数
①C '
A与B的并集.记作： A A与B的交集.记作： A
{ x | x
U , 且 x
U }
n'
0 ；② ( x ) nx n 1 ；
2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素
③(sin x ) '
cos x ； ④ '
(cos x ) a x
；
sin x e x ； 1
x
⑤(a x ) ' ln a ； ⑥(e x ) '
§ 1.2.1、函数的概念
1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系 f ，使对于集合
A 中的任意一个数
x ，在集
⑦(log a x ) '
；⑧ (ln x ) ' 1
x ln a
0) .
合 B 中都有惟一确定的数 f x 和它对应， 那么就 称 f : A B 为集合 A 到集合 B 的一个 函数 ，记作： y f x , x A .
定义域、对应关系、值
3、导数的运算法则 （ 1） (u v ) ' （ 2） (uv ) '
u
'
u ' v ' .
u ' v uv ' .
2、 一个函数的构成要素为：
域 . 如果两个函数的定义域相同， 并且对应关系完 § 1.2.2、函数的表示法
全一致，则称 这两个函数相等 .
解析法、图象法、列表法
.
（3） ( ) 2
v v
4、复合函数求导法则
u 'v uv '
(v
复合函数 y
y
f ( u ), u
f ( g ( x )) 的导数和函数 g ( x) 的导数间的关系为
y x
y u u x ，
1、 函数的三种表示方法：
§ 1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：
即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .
(1) 定义法： 设 x1、 x 2 [ a, b ], x1 x 2 那么
- 2 -
解题步骤 :分层—层层求导—作积还原 (1) 极值定义：
极值是在 x 0 附近所有的点，都有 极值是在
x 0 附近所有的点，都有
.
§ 2.1.2、指数函数及其性质
5、函数的极值
f ( x ) ＜ f ( x 0 ) ，
1、记住图象： y
a
x
a
y
0, a 1
则 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的极大值；
f ( x ) ＞ f ( x 0 ) ，
y=a
x
0
a>1
则
f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的极小值 . (2) 判别方法：
①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ＞0，右侧 f '
( x ) ＜ 0，那么 f ( x0 ) 是极大值；
②如果在 x 0 附近的左侧
f ' ( x ) ＜0，右侧 f ' ( x ) ＞ 0，
那么
f ( x0 ) 是极小值 .
6、求函数的最值
(1) 求 yf ( x ) 在 ( a , b) 内的极值（极大或者极小值） (2) 将 y
f ( x ) 的各极值点与
f (a ), f (b ) 比较，其中
最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注： 极值是在局部对函数值进行比较
（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较 (整体性质 )。
第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§ 2.1.1、指数与指数幂的运算
n
1、 一般地，如果 x
a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n
1, n N .
n
n
2、 当 n 为奇数时， a a ；
当 n 为偶数时， n a n
a .
3、 我们规定：
n
m
n
⑴ a
m
a
a 0 , m , n N * , m 1 ；
⑵ a
n
1 0
a nn
；
4、 运算性质：
r
s
r s
⑴ a a
a
a
0 , r , s Q
；
r
s
rs
⑵ a
a
a
0, r , s
Q ；
r
⑶ ab
a r b r a
0 , b
0 , r
Q .
1
o
x
2、性质：
a 10 a 1
图
象
1
1
-2
0
-4
-2
0
-1
(1) 定义域： R
性
（2）值域：（ 0，+∞）
质
（3）过定点（ 0， 1），即 x=0 时， y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数
(5) x
0, ax
x
1 ;
(5) x
0, 0x
1
x
a
;
x
0, 0 a 1 x 0, a
1 § 2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式：
a x N
x
log a N ；
log a
N
2、对数恒等式：
a N .
3、基本性质： log a 1 0 ， log a a 1 .
4、运算性质：当
a
0, a 1, M
0, N
0 时：
⑴ log a MN
log a M log a N ；
⑵ log M
a
Nlog a M
log a N ；
⑶ log a M n
n log a M .
5、换底公式： log log c b
a b
log
c a
a 0 , a 1, c 0, c 1, b
0 .
6、重要公式： log a n
bm
m log a b
n
- 3 -
7、倒数关系： log a b
1
a 0, a
1, b 0, b 1 .
如果函数 y
f x 在区间 a, b
f a
f b
上的图象是连续不断
log
b
a
的一条曲线，并且有
§ 2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象： y
0 ，那么函数
log a x a
y
0, a
1
y f x 在区间 a, b 内有零点，即存在 使得 f c
c a , b ，
y=log ax
0
o
0 ，这个 c 也就是方程 f x 0 的根 .
x
§ 3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法 .
1 a>1
2、性质：
§ 3.2.1、几类不同增长的函数模型
§ 3.2.2、函数模型的应用举例
1 图
0 象
2.5
a 1
1.5
0
1
2.5
a
1
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函
数拟合，最后检验 .
1.5
0.5
0.5
-1
-11
1
-1
-1 .5必修 2 数学知识点
-2
-2 .5
第一章：空间几何体
(1) 定义域：（ 0，+∞）
性
（ 2）值域： R
1、空间几何体的结构
⑴ 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
质
（ 3）过定点（ 1， 0），即 x=1 时， y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（ 0，+∞）上是减函数
圆柱、圆锥、圆台、球。
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。
(5) x
0 1, log a x x 1, log a x 0 ； (5) x
0 0 x 1, log a x 1, log a x 0 ； 0
⑵棱柱： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
§ 2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
⑶棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影 的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
第三章：函数的应用
⑴圆柱侧面积；
S
侧面
2
r l
§ 3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f x
函数 y
0 有实根
f x 的图象与 x 轴有交点
⑵圆锥侧面积：
S
侧面
r l
函数 y f x 有零点 .
2、 零点存在性定理：
- 4 -
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