频数 日用水量 频数 1 [0,0.1) 1 3 [0.1,0.2) 5 2 [0.2,0.3) 13 4 [0.3,0.4) 10 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 [0.4,0.5) 16 [0.5,0.6) 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 解：（1）
3
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1
x1=(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48
50该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
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1
x2=(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35
50
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m)． 20．（12分）
2
设抛物线C:y=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN． 解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）． 11
所以直线BM的方程为y=x+1或y=- x-1．
22
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-2)( (k≠0))，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0． 222
代y=k(x-2)入y=2x消去x得ky–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
ky1y2x2y1+x1y2+2(y1+y2)
直线BM，BN的斜率之和为kBM+kBN=+=．①
x1+2x2+2(x1+2)( x2+2)y1y2
将x1=+2，x2=+2及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
kkx2y1+x1y2+2(y1+y2)=
2y1y2+4k(y1+y2)-8+8
= =0 kk
3
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以，∠ABM=∠ABN．
21．（12分）
x
已知函数f(x)=ae-lnx-1．
（1）设x=2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间； 1
（2）证明：当a≥时，f(x)≥0．
e
1x
解：（1）f（x）的定义域为(0,+∞)，f ′（x）=ae–．
x
由题设知，f ′（2）=0，所以a=从而f（x）=
12． 2e
1x1x12e-lnx-1，f ′（x）=2e- ． 2e2ex
当0
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． 1e
（2）当a≥时，f（x）≥ -lnx-1．
ee
ee1设g（x）= -lnx-1，则g ′（x）= – eex
当0
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
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x
x
x
1
因此，当a≥时，f(x)≥0．
e
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
2
线C2的极坐标方程为ρ+2ρcosθ-3=0. （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
22
解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)+y=4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2． 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
|-k+2|4
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2=2，故k= - 或k=0．
3k+14
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= - 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以
|k+2|
4
=2，故k=0或k=- ． 2
3k+1
4
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= 时，l2与C2没有公共点．
34
综上，所求C1的方程为y= - |x|+2．
3
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.
-2 x<-1 2x -1≤x≤11
解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)．
2 x>12
???
（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立． 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；
22
若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]．
aa综上，a的取值范围为(0,2]．
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