《极坐标系》导学案

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3.3 结合图形,△AOB的面积S=OA·OB·sin(-)=3.

2

36

1ππ

x=ρcosθ,

4.解:(1)将三点坐标代入公式{可知点M的直角坐标为(1,-y=ρsinθ,√3),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,√3). (2)∵kMN=

√3√3-0=√3,kNP==√3,∴kMN=kNP,∴M、N、P三点在同一条直线上. 2-13-2

全新视角拓展

(法一)利用坐标转化.

点A(2,)的直角坐标为(√2,√2),点B(2,)的直角坐标为(-4

4

π

5π

√2,-√2),设点C的直角坐标为(x,y).

由题意得AC⊥BC,|AC|=|BC|.

???? ·BC????? =0,|AC|2=|BC|2,于是(x-√2,y-√2)·(x+√2,y+√2)=0,∴?AC即x2+y2=4. ①

(x-√2)2+(y-√2)2=(x+√2)2+(y+√2)2,即y=-x. ② x=√2,x=-√2,将②代入①得x2=2,解得x=±√2,∴{或{

y=-√2y=√2,∴点C的直角坐标为(√2,-√2)或(-√2,√2).

∴ρ=√2+2=2,tan θ=-1,θ=或,∴点C的极坐标为(2,)4

4

4

7π12

3π

3π

或(2,).S△ABC=|AC|·|BC|=|AC|2=×8=4.

4

2

2

7π11

(法二)设点C的极

π2

坐标为

(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=,|AC|=|BC|,∴|AC|=|BC|=2√2, ρ2+22-2×2ρcos(θ-)=8, ①

4

根据余弦定理可得{ 5π22

ρ+2-2×2ρcos(θ-)=8, ②

4π

。 9欢迎下载

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①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos(θ-π4

)=0,∴θ-=+kπ,k∈Z,即θ=

4

23π4

ππ3π4

+kπ,k∈Z,又∵0≤θ<2π,令

3π4

k=0,1,得θ=

7π4

12

或

7π4

,∴点C的极坐标为(2,

12

12

)或

(2,),S△ABC=|AC|·|BC|=|AC|2=×8=4.

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11。

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