＋90°＝180°；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，则∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论。 （3）证明的方法和（2）一样。
4.（河源9分）如图，已知抛物线y=x2?4x?3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．
(1) 对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由； (2)求证:△ABC是等腰直角三角形；
(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、
C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。理由如下： ∵ y=x2?4x?3=?x?2??1 ，?a>0 ， ∴当x=2 时，y有最小值-1。
而-2<-1，∴对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。 (2)令 x2?4x?3=0，解得，x1=1 ，x2=3。 ∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）。 由(1)知点C的坐标为（2，－1）。
过C作CE⊥X轴于E，则点E的坐标为（2，0）。 ∴AE=2－1=1，EB=3－2=1，CE=1。
∴AC=BC=12?12?2。
∴ AC＋BC=
2
22
2
11BD，OM=AE，222????22?22?4。
2
而AB=2=4，∴ AC+BC=AB。
22
∴△ABC是等腰直角三角形。
(3)存在。
首先BD为平行四边形边的情况是不可能的，这是因为C是抛物线的顶点，它不可能与抛物线上的其它点构成与BD（x轴）平行的线段。 因此只能是BC为边构成平行四边形。
∵ 点D，B在x轴上， 点C到x轴的距离为1， ∴点P的纵坐标为1。则
由x2?4x?3=1解得，x1=2?2 ，x2=2+2 。 ∵ 由(2)知∠CBO=45，∴∠PDB=45。 ∴P，D两点横纵标之差等于P点的纵坐标。 当x1=2?2 时，D点横纵标为1?2 ； 当x2=2?2 时，D点横纵标为1?2 。
因此B、C、D1（1?2 ，0）、P1（2?2 ，1）和B、C、D2（1?2 ，0）、P2（2?2 ，1）为顶点的四边形是平行四边形。即所求点P的坐标为（2?2 ，1）和（2?2 ，1）。
【考点】二次函数的最小值，点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，等腰三角形的定义，平行四边形的判定。
【分析】（1）求出 y=x2?4x?3 的最小值即能判定。
（2）用函数上各点的坐标，然后求出各线段长，用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可证明。
（3）利用BC边的确定性进行分析研究。
5.（茂名8分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
0
0
【答案】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x－1）（x－5），
4， 544244216 ∴y=?x?1??x?5?=x2?x?4=?x?3??。
55555 把点A（0，4）代入上式得：a= ∴抛物线的对称轴是：x=3。 （2）点P的坐标为（6，4）。
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大。 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t﹣ 过点N作NG∥y轴交AC于Q，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：
452
24t+4）（0＜t＜5）， 5y=－
4x＋4。 544x＋4，则Q（t，－t＋4）， 55442244224 此时，NQ=－x＋4－（t－t＋4）=－t＋t，
5555511422452252
∴S△ACN=NQ?OC=（－t＋t）×5=－2t＋10t=－2（t－）＋，
225252525 ∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
22542245 由t=，得：y=t－t+4=－3，∴点N的坐标为（，－3）。
2525 把x=t代入得：y=－
【考点】二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，二次函数的最大值。
【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x－1）（x－5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴。 （2）由已知，可求得P（6，4）：
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3， 又∵点P的坐标中x＞5，∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意， ∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况， 在Rt△AOM中，AM=OA2?OM2?42?32?5。
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5， 即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）。
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t－
452
24t＋4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函52
数最大值的问题即可求得答案。
6.（清远8分）如图，抛物线y＝(x＋1)＋k 与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C (0，－3)．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求 此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
① 当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标； ② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M 的坐标．
【答案】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1。
把C (0，－3)代入y＝(x＋1)＋k得 －3＝1＋k ， ∴k＝－4。
（2）∵PA＋PC的值最小，∴连接AC，交对称轴于点P。
∵y＝(x＋1)－4 ， 令y＝0，可得(x＋1)－4＝0， ∴x1＝1，x2＝－3。 ∴A (－3，0) ， B (1，0)。 设直线AC的关系式为：y?mx?n
把A (－3，0)，C (0，－3)代入y?mx?n得，
2
2
2
y A O B x C y A P O B x C ??3m?n?0?m??1 ?，解得?
n??3n??3??∴直线AC的关系式为y＝－x－3。
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