当x＝－1时，y＝1－3＝－2。∴P (－1，－2)。 （3）① 设M的坐标为（x, (x＋1)－4） 112
∴S△AMB＝·AB·｜ym｜＝·4·[4－(x＋1)]
22
＝8－2(x＋1)
当x＝－1时，S最大，最大值为S＝8 ∴M的坐标为(－1，－4)。
② 过M作x轴的垂线交于点E，连接OM， S四边形AMCB＝S△AMO＋S△CMO＋S△CBO
111
＝·AB·|ym|＋·CO·|xm|＋·OC·BO 2223112
＝6－ (x＋1)＋·3·(－x)＋·3·1
222
3293332812
＝－x－ x＋6＝－（x＋3x－9）＝－（x＋）－
222228381当x＝－ 时，S最大，最大值为。
28
【考点】抛物线的对称轴，函数图象上点的坐标与方程的关系，线段的性质，二次函数的最大值。 【分析】（1）由抛物线y＝(x＋1)＋k可直接得到对称轴x＝－1。根据点C 在抛物线上，点的坐标(0，－3)满足方程，将C (0，－3)代入y＝(x＋1)＋k即可求出k。
（2）根据两点之间线段最短的性质，知点P是直线AC与抛物线对称轴的交点，据此求出直线AC，令x＝－1即可求点P的坐标。
（3）①设点的坐标为（x, (x＋1)－4），把△AMB的面积用x的表达式表示，由二次函数的最大值的求法可求。
②同①，只要把四边形AMCB分割成可求面积的三角形即可。
7.（深圳9分）如图1，抛物线y?ax2?bx?c?a?0?的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
2
2
2
2
2
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y?a(x?1)2?4，
依题意，将点B（3，0）代入，得： a(3?1)2?4?0， 解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：y??(x?1)2?4。
（2）如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI，
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线
y??(x?1)2?4，得
y??(2?1)2?4?3， ∴点E坐标为（2，3）。
又∵抛物线y??(x?1)2?4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D， ∴当y＝0时，?(x?1)2?4?0，∴x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1， ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE
设过A、E两点的一次函数解析式为：y?kx?b?k?0?，
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y?kx?b，得：
??k?b?0?k?1 ?， 解得： ?。
2k?b?3b?1??过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1。
∴当x＝0时，y＝1 。 ∴点F坐标为（0，1）。∴DF=2。 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）。 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可， 由图形的对称性和HF＝HI，GD＝GE可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小。 而EI?DE2?DI2?22?42?25。
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y?k1x?b1(k1?0)，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y?k1x?b1，得：
?2k1?b1?3?k1?2 ?，解得：?
b??1b??1?1?1 过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1 ∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝ ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（
1； 21，0） 2 ∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI=2?25 ∴四边形DFHG的周长最小为2?25。
（3）设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD ∴ 再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4， ∴ MN?NMAM。 ?BDABAM?BD(1?a)?3232??(1?a) AB44 ∵MD2?OD2?OM2?a2?9， 由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
NMMD即可。 ?MDBD32 即：MD2?NM?BD ∴ a2?9?(1?a)?32 433 解得：a?或a?3（不合题意，舍去）。∴点M的坐标为（，0）。
22315 又∵点T在抛物线y??(x?1)2?4图像上， ∴当x＝时，y＝。
22315 ∴点T的坐标为（，）。
22 要使，△DNM∽△BMD，只要使
【考点】待定系数法求二次函数，抛物线的对称性，一次函数，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）用待定系数法将点B（3，0）代入即可求二次函数表达式。 （2）应用抛物线的对称性和两点之间线段最短的性质可求。
（3）由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使、（2）的结论和△AMN∽△ABD即可求得。 MD2?NM?BD。因此由（1）
8.（台山12分）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证 明你得到的结论。
（3）①设点P的坐标为（1, b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等 腰三角形时点P的坐标。
【答案】解：（1）∵AO＝BO＝1，∴AB=12?12?2。AC＝t，则CB＝2－t。 ∵△AOC≌△BCP，∴AO＝CB，即1＝2－t。∴t＝2－1。 （2）动手测量后判断线段OC和CP的长相等。
OLACPBXYX=1NMMD即可，即：?MDBD
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