【解析】 分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：
图4
【例 57】 （第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，
分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ：
【解析】 由于分出的三个长方体的底面积相同，所以体积之比等于三个长方体的高之比，设正方体的棱长为1，
三个长方体的高分别为h1，h2，h3，所以h1?h2?h3?1，根据“分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5”得(2?4h1):(2?4h2):(2?4h3)?3:4:5，
而(2?4h1)?(2?4h2)?(2?4h3)?6?4(h1?h2?h3)?10，所以有2?4h1?10?31，解得h1?，
3?4?581131113同理得h2?，h3?，所以h1:h2:h3?::?3:8:13，即体积比为3:8:13。
3248324
【例 58】 (第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2
厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？
2913
【解析】 容器的底面积是
(13?4)?(9?4)?45(平方厘米)，
高为2厘米，所以容器的体积是，
45?2?90(立方厘米)．
【巩固】(第七届“祖冲之杯”数学邀请赛)现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只
深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是
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多少立方厘米?
焊上10301035焊上焊上
【解析】 如图，在40?20的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮
盒．这个铁皮盒的长?40?5?5?30(厘米)． 宽?20?5?5?10(厘米)，高?5(厘米)． 体积?30?10?5?1500(立方厘米)．
如图，在40?20长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接 到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长?40?5?35(厘米)， 宽?20?5?5?10(厘米)， 高?5(厘米)，
体积?35?10?5?1750(立方厘米)．
如图，在40?20的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的 长?40?5?5?5?5?20(厘米)， 宽?20(厘米)， 高?5(厘米)，
体积?20?20?5?2000(立方厘米)． 因此，最后一种容积最大．
【例 59】 一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个
正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:12?7:5:4，为了方便起见.我们先考虑长、
宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.
因为7?5?4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求．
那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体
积应是：21?15?12?123?93?63?1107（立方厘米）.
3121212129396666焊上20??9
【例 60】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看
如下图右．那么这个几何体至少用了 块木块．
1294-4-1 长方体与正方体 题库 page 22 of 37
【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块．其
实，有些格不放，看起来也是这样的．
如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．
【巩固】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成
的长方体有多少个？
【解析】 正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的2?2?2的正方体，有4个． 所以共有正方体22?4?26(个)．
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13?13?14?40(个)．
【例 61】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不
同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.
4-4-1 长方体与正方体 题库 page 23 of 37
【巩固】这个图形，是否能够由1?1?2的长方体搭构而成？ 【解析】 每一个1?1?2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17
块，白色积木有15块，所以该图形不能够由1?1?2的长方体搭构而成.
【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)
先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?
32332323113223123111
【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．
543432321654543432765654543第一层第二层第三层上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个
数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(27?45)?3?216．
【例 62】 如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视
图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？
【解析】 本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么11个，这是不能再少的；
第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块；
第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求： 所堆的立体的体积至少是11?7?18．
当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件．
正视图俯视图侧视图4-4-1 长方体与正方体 题库 page 24 of 37
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