【解析】 解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5?5?25个，由侧面图形抽出的小正
方体有5?5?25个，由底面图形抽出的小正方体有4?5?20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1?2?2?1?2?2?8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1?3?2?2?7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1?2?1?1?2?2?7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，25?25?20?8?7?7?4?52，所以共抽出了52个小正方体．125?52?73，所以右图中剩下的小正方体有73个．
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事． 但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”． 这里，化虚为实的思想方法很重要． 解法二：(用“切片法”来解) 可以从上到下切五层，得： ⑴从上到下五层，如图：
⑵或者，从右到左五片，如图：
请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．
比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即—— 如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位臵的四块挖走如图：
第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：
第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：
4-4-1 长方体与正方体 题库 page 29 of 37
【例 69】 (第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大
正方体ABCD?A1B1C1D1(如图)，大正方体内的对角线AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?
D1A1DABB1CC1
【解析】 AC1、BD1，CA1，DB1，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体．除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过401?1?1?101个小正方体
4 这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成．因此大正方体由1013个小正方体组成，其中无
色透明的小正方体有1013?401?1030301?401?1029900． 即用了1029900个无色透明的小正方体．
【例 70】 （2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）。
已知正方体之边长为12cm，请问正八面体之体积为多少立方厘米？
第4题【解析】 正八面体的体积实际上是上、下两个对称锥体的体积之和．容易看出锥体的底面是依次连接一个正
方形的各边中点而成的（如右上图），所以也是正方形，且面积是正方体的一个面的一半，即12?12?2?72（平方厘米），高是正方体棱长的一半，为6厘米，所以八面体的体积是： 1． ?72?6?2?288（立方厘米）
3
【例 71】 如图,已知A、B、C分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立
方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求： ⑴切掉的小部分的体积是多少？ ⑵剩下的大部分的体积是多少？
ACB
【解析】 本题应用相关体积公式．
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1112⑴V锥?Sh???42?4?10
33231⑵V剩?83?V锥?501
3
【例 72】 （2008年第六届走美决赛六年级）如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形
成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个正三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体积是 cm3．
第9题【解析】 从图中可以看出，夹在六边形与三角形之间的立体图形有2个底面和6个侧面（六边形的每一条边对应一个侧面），所以共有8个面，
由于正方体是关于它的中心成中心对称的，而根据正六边形和正三角形的连法，如果从正方体中去掉以这个正三角形为底面的三棱锥以及与它相对的三棱锥后，剩下的部分正好被六边形分成2个同样的立体图形，这就是所要求的立体图形．所以所要求的立体图形的体积是： 1??11????6?6?6?2????6?6?6???72(cm3)． 2??32??
【巩固】如图，原正方体的棱长为12厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的
体积．
【解析】 倾斜于上下底面的切面，把正方体一分为二．被切掉的部分的图形和剩下的部分图形关于正方形的
中心是对称的．123?2?864(cm3)
【例 73】 如图，是一个正方体，将正方体的A、C、B?、D?四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已
知正方体的边长为3，求正四面体的体积.
ACA′B′B
D
【解析】 这个正四面体可以看作由正方体切掉A?、C?、B、D四个角后得到的，如图所示：
D′C′4-4-1 长方体与正方体 题库 page 31 of 37
AACAABDA′D′D′CB′B′B′B′D′D′C′
1?1? 所以正四面体的体积?3?3?3?4???3??3?3??27?18?9.
2?3?
【例 74】 (2005年第十届华杯赛决赛)一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中
点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积(如下图所示)和正方体体积的比是多少？
1?1?111【解析】 假设正方体的边长为1，那么每个切去的角(三棱锥)的体积为??????，所以八个角一
3?2?22481115共切去?8?的体积，所以余下的体积是正方体体积的1??，即余下部分的体积与正方体体
48666积的比为5:6．
【例 75】 (2008年清华附中试题)选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是( )．
2A为B．
BCD
【解析】 图中A、C、D项展开后的图形均为下图，只有B项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答案
【例 76】 图1是下面 的表面展开图
①甲正方体； ②乙正方体；
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