③丙正方体；
④甲正方体或丙正方体．
甲 乙 丙 【解析】 从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从
而排除乙．故选甲答案为①．
【例 77】 (2005年第十届华杯赛初赛)图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边
长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？
黄绿111
【解析】 将这个展开图折成直三棱柱形状，如右图所示，可见这个三棱柱是单位正方体的一半，其体积为
131?1?． 22
【例 78】 如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘
米，那么该四棱锥的体积为多少？
【解析】 知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积．将四棱锥沿对角线和顶点构
成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称性，这条高也等于四棱锥的高.
本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知．
我们隆重推出“画图建模法”，比如：
请注意在一个正方体中如何作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等边三角形围绕一个正方形，得到四棱锥．
另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半．
根据小正方形面积是8推得，大正方形面积是小正方形的2倍， 所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4．
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所以小正方体的棱长为2． 即四棱锥的高度为2．
16四棱锥的体积为8?2?3?立方厘米．
3
【例 79】 如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、
顶点数和棱数的总和是多少？
【解析】 多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12个正方形加8个三角形，共20面．
右上图是多面体上部的示意图共有9个顶点；同样，下部也是9个顶点，共18个顶点．
棱数要分成三层来数，上层．从示意图数，有15条；下层也是15条；中间部分为6条．一共15×2+6=36(条)．
总和为：20+18+36=74(个)．
【例 80】 （2008年迎春杯六年级初赛）右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米
的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是 毫升．
⑥②
①
⑨
⑤
④⑧
③
⑦
【解析】 该容器是一个棱长为18的立方体割去八个角后(从每条棱的中点)剩下部分的一半．
1?11?即：??183??93??8??2430(毫升)．
2?32?
【例 81】 如图左边为某个容器的展开图，右边的正六边形是该容器的盖子，该容器所有表面都是正多边形
(正方形、正三角形、正六边形)，其中正方形的面积为18，那么该容器的容积为多少？
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【解析】 一般的经验，这种由展开图围成立体图形的题，一种最简单的找到思路的方法是按这样的比例，先
描画出平面图，剪一剪，再手工折一折，试一试．这种方法可以简称为：实际操作法． 另外，也可以采用“画图建模法”，这种方法的关键是联系正方体，比如，如何在一个正方体中出现正六边形．在此基础上，如何出现正三角形？
本题中，该容器可以由一个正方体通过切割雕成，首先连接正方体的六条边的中点，以这六条线段围成的六边形能将正方体切割成相等的两份，再在其中一份上割去4个三棱锥，即可得到展开图符合条件的立体图形，因为展开图中正方形的面积为18，所以被切割的大正方体的表面的正方形的面积为18?2?36，所以大正方体的边长为6，体积为216． 该容器的体积为216?2?4?(3?3?3?2?3)?90．
【例 82】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形
且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．
⑸⑺⑾⑻⑹⑵⑴⑷⑶⑼⑽
【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：
其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．
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对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．
由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套． 对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去ABDA1、CBDC1、D1AC11D、B1AC11B)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去BACB1、DACD1)．
BCADBACC1DB1C1D1A1B1A1D1 假设左图中的立方体的棱长为a，右图中的立方体的棱长为b，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图
111形的体积为：a3?a2?a??4?a3，
233112以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3?b2?b??2?b3．
233由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即b?2a．
那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体
12123积的比为：a3:b3?a3:??2a??1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形
3333的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．
【例 83】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：
图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？
图⑴ 图⑵ 【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：
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图⑴ 图⑵
对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．
我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位臵的微妙关系：
60°160°和图3一致！
图⑶ 图⑷
由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．
111111假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是?????，所以切掉8个角后的
222234815体积是1??8?．
4861再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为
21的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为的立方体里的话是可以放进去的．
212
这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为
1，所以图⑵的体积是：481111151????4?，那么前者的体积是后者的??20倍． 2224824624【总结】在竞赛实战中，有一种方法尤其重要，就是实际操作法．本题不妨按图索骥“做”相关模型，就能
相对轻松地想到与正方体的关联．
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