三角恒等变换 单元教学设计
一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述 项目 内容 课标（8课时） 必修4-3 两角差的余弦； 两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切； 简单的三角恒等变换. 可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练 大纲 1. 和与差的三角函数公式 2. 简单的三角恒等变换 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. (2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. (3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 要求 二、教材分析 1、本单元教学内容的范围
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换
2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力.
三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.
3、本单元教学内容总体教学目标
（1）和差角公式与二倍角公式
经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用．
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系.
能应用公式解决比较简单的有关应用问题.
经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式
C2?的两种变形，再运用二倍
角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.
了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.
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（2）简单的三角变换
运用三角变换公式进行简单的三角变换，通过公式的综合运用，掌握三角变换的特点，预测变换的目标，设计变换的过程.
4、本单元教学内容重点和难点分析
（1）两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 重点：两角和与差的余弦公式求值和证明; 难点：两角和的余弦公式的推导. （2）简单的三角变换
重点：运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换;
难点：公式的综合运用，根据三角变换的特点，设计变换的过程.
5.人教A版教材特点
用向量证明差角公式，引导学生用向量研究三角问题； 建立和角公式与旋转变换之间的联系；
引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差； 和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.
提供了“练习题”，“习题A、习题B”， “复习参考题A ”，“ 复习参考题B”，等多种形式的 练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.
三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的.
通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式. 在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯.
本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；
四、设计意图与特色
本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；
本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；
本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
五、本单元教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约2课时
六、课时教学设计
课题 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.
二、设计意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
三、学习重点与难点
1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，会导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；
2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）
一、学习目标
(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式； (2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；
(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神.
二、学习重、难点
1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学习过程
1、学习引导
探究（一）：两角差的余弦公式
思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?
思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？ cos(60－30) cos60° 1cos30° sin60° sin30° 322cos120° 1323212cos(120－60) cos60° 1sin120° 3sin60° 3212?222第 3 页 共 21 页
思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
思考5：上图中，如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？ sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？
思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？
思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量OA、
OB的坐标分别是什么？其数量积是什么？
思考11：向量OA与OB的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，
OA?OB等于什么？由此可得什么结论？
思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作C(???)，该公式有什么特点？如何记忆？ 探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？
思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？
思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
2、随堂练习
⑴、cos15?________
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⑵、已知sin??2?33?,??(,?),cos???,??(?,),求cos(???) 3242⑶、已知sin??
15?，?是第二象限角，求cos（??）的值 1733、知识拓展
15已知?，?为锐角，cos??，sin（???）?3 ，求cos? 例1
714例2 已知cos(a+b)cosb+sin(a+b)sinb=?1?3??,且???,2?? , 求cos(??)的值.
43?2?四、反思小结
1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、
猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.
五、自我测评
1、cos79cos34?sin79sin34?（ ）
123A B 1 C D2222、已知cos???4??,??(,?),则cos(??)?( ) 524A 227272 B - C - D
10101010
3、在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80，sin80），B(cos20，sin20），则AB的值是（ ）A 1 B 2 C 3 D 12224、若sin??sin??1?31,cos??cos???,则cos(???)? 225、若cos??cos??cos??0,sin??sin??sin??0,则cos(???)?
1116、已知?，?都是锐角，cos??，cos（???）??，求cos?的值。
714347、若sinx?siny?，cosx?cosy?，求cos（x?y)的值。
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