三角恒等变换 单元教学设计
一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述 项目 内容 课标(8课时) 必修4-3 两角差的余弦; 两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切; 简单的三角恒等变换. 可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,鼓励学生独立探索和讨论交流,引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式,以此作为三角恒等变换的基本训练 大纲 1. 和与差的三角函数公式 2. 简单的三角恒等变换 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. (2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. (3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 要求 二、教材分析 1、本单元教学内容的范围
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换
2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的,与代数变换一样,三角变换也是只变其形不变其质的,它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章,学生接触了同角三角函数式的变换.在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发推导其它三角函数恒等变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习,要进一步提高学生的推理能力和运算能力.
三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛,同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.
3、本单元教学内容总体教学目标
(1)和差角公式与二倍角公式
经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明数学问题的方法,进一步体会向量法的作用.
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切公式,了解公式间的内在联系.
能应用公式解决比较简单的有关应用问题.
经历运用正弦、余弦、正切的和角公式,推导出它们对应的倍角公式及公式
C2?的两种变形,再运用二倍
角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程,掌握倍角公式和半角公式,能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.
了解公式之间的内在联系,培养学生的逻辑推理能力.
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(2)简单的三角变换
运用三角变换公式进行简单的三角变换,通过公式的综合运用,掌握三角变换的特点,预测变换的目标,设计变换的过程.
4、本单元教学内容重点和难点分析
(1)两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 重点:两角和与差的余弦公式求值和证明; 难点:两角和的余弦公式的推导. (2)简单的三角变换
重点:运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换;
难点:公式的综合运用,根据三角变换的特点,设计变换的过程.
5.人教A版教材特点
用向量证明差角公式,引导学生用向量研究三角问题; 建立和角公式与旋转变换之间的联系;
引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差; 和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.
提供了“练习题”,“习题A、习题B”, “复习参考题A ”,“ 复习参考题B”,等多种形式的 练习方式,为教学提供了丰富的可选择的空间.
三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
1、选取与内容密切相关的,典型的,丰富的和学生熟悉的素材,用生动活泼的语言,创设能够体现数学的概念和结论,数学的思想和方法,以及数学应用的学习情境,使学生产生对数学的亲切感,引发学生“看个究竟”的冲动,以达到培养其兴趣的目的.
通过“观察”,“思考”,“探究”等栏目,引发学生的思考和探索活动,切实改进学生的学习方式. 在教学中强调类比,推广,特殊化,化归等数学思想方法,尽可能养成其逻辑思维的习惯.
本单元公式较多,有些是要求学生记忆的,有些是不要求学生记忆的,但要求会推导、会运用;建议在教学中,注重公式内在的联系,尽量引导学生利用已有知识推导公式;在推导中记忆公式,运用公式,解决实际问题;
四、设计意图与特色
本章的内容分为两节:“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”,“简单的三角恒等变换”,在学习本章之前我们学习了向量的相关知识,因此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础,运用向量的知识来予以证明,降低了难度,使学生容易接受;
本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式;
本章在内容的安排上有明暗两条线,明线是建立公式,学会变换,暗线是发展推理和运算的能力,因此在本章全部内容的安排上,特别注意恰时恰点的提出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识;
本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念,严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度,尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据,而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
五、本单元教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时,具体分配如下:
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约2课时
六、课时教学设计
课题 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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一、课标要求:
本节的中心内容是建立相关的十一个公式,通过探索证明和初步应用,体会和认识公式的特征及作用.
二、设计意图与特色
本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.
三、学习重点与难点
1. 重点:引导学生通过独立探索和讨论交流,会导出两角和差的三角函数的十一个公式,并了解它们的内在联系,为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础;
2. 难点:两角差的余弦公式的探索与证明.
课题 3.1.1 两角差的余弦公式(第一课时)
一、学习目标
(1)掌握借助单位圆,运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式; (2)通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及功能,为建立其它和(差)公式打好基础;
(3)通过教学活动,使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程,并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度,逐步培养学生探索问题的精神.
二、学习重、难点
1.重点:通过探索得到两角差的余弦公式;
2.难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等.
三、学习过程
1、学习引导
探究(一):两角差的余弦公式
思考1:设α,β为两个任意角, 你能判断cos(α-β)=cosα-cosβ恒成立吗?
思考2:我们设想cos(α-β)的值与α,β的三角函数值有一定关系,观察下表中的数据,你有什么发现? cos(60-30) cos60° 1cos30° sin60° sin30° 322cos120° 1323212cos(120-60) cos60° 1sin120° 3sin60° 3212?222第 3 页 共 21 页
思考3:一般地,你猜想cos(α-β)等于什么?
思考4:如图,设α,β为锐角,且α>β,角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP=β,那么cos(α-β)表示哪条线段长?
思考5:上图中,如何用线段分别表示sinβ和cosβ?
思考6:cosαcosβ=OAcosα,它表示哪条线段长? sinαsinβ=PAsinα,它表示哪条线段长?
思考7:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什么结论?
思考8:上述推理能说明对任意角α,β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
思考9:根据cosαcosβ+sinαsinβ的结构特征,你能联想到一个相关计算原理吗?
思考10:如图,设角α,β的终边与单位圆的交点分别为A、B,则向量OA、
OB的坐标分别是什么?其数量积是什么?
思考11:向量OA与OB的夹角θ与α、β有什么关系?根据量积定义,
OA?OB等于什么?由此可得什么结论?
思考12:公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ称为差角的余弦公式,记作C(???),该公式有什么特点?如何记忆? 探究(二):两角差的余弦公式的变通
思考1:若已知α+β和β的三角函数值,如何求cosα的值?
思考2:利用α-(α-β)=β可得cosβ等于什么?
思考3:若cosα+cosβ=a,sinα+sinβ=b,则cos(α-β)等于什么?
思考4:若cosα-cosβ=a,sinα-sinβ=b,则cos(α-β)等于什么?
2、随堂练习
⑴、cos15?________
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⑵、已知sin??2?33?,??(,?),cos???,??(?,),求cos(???) 3242⑶、已知sin??
15?,?是第二象限角,求cos(??)的值 1733、知识拓展
15已知?,?为锐角,cos??,sin(???)?3 ,求cos? 例1
714例2 已知cos(a+b)cosb+sin(a+b)sinb=?1?3??,且???,2?? , 求cos(??)的值.
43?2?四、反思小结
1.在差角的余弦公式的形成过程中,蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧,如数形结合,化归转换、归纳、
猜想、构造、换元、向量等,我们要深刻理解和领会.
2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该角所在的象限,从而确定该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中,α,β既可以是单角,也可以是复角,运用时要注意角的变换,如,2β=(α+β)-(α-β) 等. 同时,公式的应用具有灵活性,解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.
五、自我测评
1、cos79cos34?sin79sin34?( )
123A B 1 C D2222、已知cos???4??,??(,?),则cos(??)?( ) 524A 227272 B - C - D
10101010
3、在平面直角坐标系中,已知两点A(cos80,sin80),B(cos20,sin20),则AB的值是( )A 1 B 2 C 3 D 12224、若sin??sin??1?31,cos??cos???,则cos(???)? 225、若cos??cos??cos??0,sin??sin??sin??0,则cos(???)?
1116、已知?,?都是锐角,cos??,cos(???)??,求cos?的值。
714347、若sinx?siny?,cosx?cosy?,求cos(x?y)的值。
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