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一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
A叫做分式。 B
1例1.下列各式a?，1x?1，15x+y，a2?b2a?b，-3x2，0?中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】
例2.下列分式，当x取何值时有意义。（1）2x?13?x23x?2； （2）2x?3。
例3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）。 2A．
12x?1 B．x2x?1 C．3x?1xx2 D．2x2?1
例4．当x______时，分式2x?13x?4无意义。当x_______时，分式x2?1x2?x?2的值为零。
例5.已知
1x-15x?3xy?5yy=3，求x?2xy?y的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。（C?0） A?A?CAA?C BB?CB?B?C四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
15x?1例6.不改变分式的值，使分式110y的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 3x?19y例7.不改变分式2?3x2?x?5x3?2x?3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。
x2例8.分式4y?3x4a，?1x2?xy?y2a2?2abx4?1，x?y，ab?2b2中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）x2?6x?9x2?9； （2）m2?3m?2m2?m 例10.通分：（1）x6ab2，y9a2bc； （2）a?16a2?2a?1，a2?1
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例11.已知x2+3x+1=0，求x2+
x2的值． 12.已知x+x2例1x=3，求x4?x2?1的值．
五、分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 an(na acacacadadb)?bn
b?d?bd;b?d?b?c?bc分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
ac?bc?a?bc,acadbcad?bcb?d?bd?bd?bd 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
例13.当分式121x2?1-x?1-x?1的值等于零时，则x=_________。 例14．已知a+b=3，ab=1，则abb+a的值等于_______。 例15.计算：x?2x?1x2?2x-x2?4x?4。
例16.计算：x2x?1-x-1
例17.先化简，再求值:
aa?3-a?633a2?3a+a，其中a=2。 六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即a0?1(a?0)；
当n为正整数时，a?n?1an （a?0) 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：am?an?am?n；
（2）幂的乘方：(am)n?amn;
（3）积的乘方：(ab)n?anbn；
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（4）同底数的幂的除法：am?an?am?n( a≠0)； （5）商的乘方：(anb)?anbn(b≠0)
八、科学记数法：把一个数表示成a?10n的形式（其中1?a?10，n是整数）的记数方法叫做科学
记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n?1。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。 例18.若102x?25,则10?x等于( )。
A.?15 B.1115 C.50 D.625
例19.若a?a?1?3,则a2?a?2等于( )。 A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
?1例20.计算:(1)4?1?3?(?62)0???3?? (2)?2a?3b?1xy?2?33?2??
例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。 例22.计算?3?10?5?2??3?10?1?2?___________。
例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。
例24．计算3xx?4y+x?y4y?x-7yx?4y得（ ） A．-2x?6yx?4y B．2x?6yx?4y C．-2 D．2
2222例25.计算a-b+
2ba?b得（ ） A．a?b?2ba?b B．a+b C．a?ba?b D．a-b 九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 3、解分式方程的步骤：
（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）、解这个整式方程。
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（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）、写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 例26.解方程。 (1)3x?2x?6 （2）2x?1?3x?1?62164x?7x2?1 （3）5?x?1?x?0 （4）3x?8?1?8?3x
例27. X为何值时，代数式2x?9x?3?1x?3?2x的值等于2？
3例28.若方程2x?4?2x?2?1 有增根，则增根应是（ ）
十、列方程应用题
（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。 （二）
（三） 应用题的几种类型：
1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
例29.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
3、顺水逆水问题 v
顺水
=v静水+v水； v逆水=v静水-v水。
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例31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
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