初三数学竞赛辅导教程

1.1 因式分解

一、常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容） 1. a?b?c?ab?ac?bc?2. ab?a?b?1??a?1??b?1?

3. a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc??a?b?c?（在已知a?b?c和a?b?c时此公式常

22222221?a?b?2??a?c?2??b?c?2 2??2?a?b?c???a2?b2?c2?变形为ab?ac?bc?）

24. a3?b3?c3?3abc??a?b?c?a2?b2?c2?ab?ac?bc 二、例题讲解

例1. 已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a?b?c?ab?ac?bc，试判断△ABC的形状.

例2. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.（2015大同杯第四题）

例3. 已知实数a、b、c满足a?b?c?0，a?b?c?0.1，求a?b?c的值.（2003年宇振杯第3题）

例4. 已知a?b?c?0，a?b?c?0，求证：a?b?c?0

333555222444??222三、练习题

1. 已知整数a、b满足6ab?9a?10b?303，求a?b的值.

2. 已知a?

3333. 已知a、b、c是不全相等的实数，且abc?0，a?b?c?3abc，求：

11m?1，b?m?2，c?m?3，求a2?2ab?b2?2ac?c2?2bc的值. 22（1）a?b?c的值 （2）a?

?11??11??11????b????c???的值 bc??ac??ba??a3?a2b?ab2?b34. 化简：（2014大同杯第1题） 22a?2ab?b

5. 设非零实数a，b，c满足?学联赛第一试第1题）

?a?2b?3c?0ab?bc?ca，求2的值.（2013年全国初中数22a?b?c?2a?3b?4c?06. 已知正数a、b、c满足ab?a?b?bc?b?c?ac?c?a?3，求?a?1??b?1??c?1?的值. 7. 已

知

：

a?b?c?5，

a2?b2?c2?15，

a3?b3?c3?47，求

?a

2（.2016全国初中数学联赛第二试B组第2题） ?ab?b2b2?bc?c2c2?ca?a2的值

?????1.2 对称式与轮换对称式 一、定义

1. 一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。例如，x?y，xy，称式。

2. 如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。 3. 一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个代数式为n元交代式。例如，x?y，(x?y)(y?z)(z?x)，x?y，x2?y2?z2，xy?yz?zx都是对xyx?y均是交代式。 x?y4. 如果一个n元代数式，如果将字母x1，x2，，xn：以x2代x1，x3代x2，，xn代xn?1，x1代xn后代数式不变，那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，a(x2?y2?z2)是对称式也是轮换式；

b(x2y?y2z?z2x)是轮换式，但不是对称式。

二、例题讲解

2c22a22b2例1. 已知，a，b，c是△ABC的边，且a?，b?，c?，求此三角形

1?c21?a21?b2的面积.

例2. 满足方程xyz?xy?yz?zx?x?y?z?2014的非负整数解?x,y,z?有几组？（2014大同杯第4题）