三角函数基础知识

三角函数

基础知识整理

一． 角的概念：

1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角?或?? 可以简记成?

⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，

它包括任意大小的正角、负角和零角．

2．“象限角”

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

3．终边相同的角

结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

S??|????k?360,k?Z

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角注意： (1)k?Z (2)是任意角；

与整数个周角的和.

???(3)k?360与

0之间是“+”号，

00如：k?360-30°，应看成k?360+(-30°)；

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

二． 弧度制：

1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作

弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad

2．弧长公式：l?r??

由公式：??ln?r简单 ? l?r?? 比公式l?r1801lR 其中l是扇形弧长，R是圆的半径 2 即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 S?

三． 三角函数的定义：

1. 设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离r?2. 比值

x?y22?x2?y2?0

y叫做?的正弦 记作： sin??rx 比值叫做?的余弦 记作： cos??ry 比值叫做?的正切 记作： tan??x比值

y rx ry xxx叫做?的余切 记作： cot??

yy比值

rr叫做?的正割 记作： sec?? xxrr叫做?的余割 记作： csc??

yy 比值

以上六种函数，统称为三角函数. 3. 突出探究的几个问题： ①角是“任意角”，当

=2k

+(kZ)时，

与

的同名三角函数值应该是相

等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④r?0而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域：

sin??y的定义域： R rxcos??的定义域：R

rtan???y??的定义域：??|???k?,k?Z?

2x??注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都

与x轴的非负半轴重合. (2)比值只与角的大小有关.

4． 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；

余弦在第一、四象限为正； 正切在第一、三象限为正.

四． 诱导公式：

1．必须熟记的两组诱导公式：

诱导公式一（其中k?Z）: 用弧度制可写成

sin(??k?360?)?sin? sin(??2k?)?sin? cos(??k?360?)?cos? cos(??2k?)?cos? tan(??k?360?)?tan? tan(??2k?)?tan?

诱导公式二：

sin(??）?-sin? cos(??）?cos? tan(??）??tan?

2. 诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限.

诱导公式三： 用弧度制可表示如下：

sin(180???）?sin? cos(180???）?-cos? tan(180???）??tan?

诱导公式四： sin(180???）?-sin? cos(180???）?-cos? tan(180???）?tan?

诱导公式五： sin(90???)?cos? cos(90???)?sin? tan(90???)?cot?

诱导公式六： sin(90???)??cos? cos(90???)??sin? tan(90???)?cot?

补充公式七： sin(360???）?-sin? cos(360???）?cos? tan(360???）??tan?

sin(???）?sin? cos(???）?-cos? tan(???）??tan?

用弧度制可表示如下：

sin(???）?-sin? cos(???）?-cos? tan(???）?tan?

用弧度制可表示如下：

sin(?2??)?cos?

cos(?2??)?sin?

tan(?2??)?cot?

用弧度制可表示如下：

sin(?2??)??cos?

cos(?2??)??sin?

tan(?2??)?cot?

用弧度制可表示如下：

sin(2???）?-sin? cos(2???）?cos? tan(2???）??tan?

补充公式八： 用弧度制可表示如下：

3???)??cos? 23?cos(270???)??sin? cos(??)??sin?

23?? tan(270??)?cot? tan(??)?cot?

2sin(270???)??cos? sin(

补充公式九： 用弧度制可表示如下：

sin(270???)??cos? sin(3???)??cos? 23?cos(270???)?sin? cos(??)?sin?

23?tan(270???)??cot? tan(??)??cot?

2五．两角和与差的三角函数关系式：

1．两角和与差的三角函数关系式

cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin(???)?sin?cos??sin?cos? sin(???)?sin?cos??sin?cos?

tan(???)?tan??tan?

1?tan?tan?tan??tan?

1?tan?tan? tan(???)?2 推导公式：

asin??bcos??a2?b2(aa?b22aa?b22sin??ba?b22cos?)

因为()2?(ba?b22)2?1.所以sin2θ＋cos2θ＝1