三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题11 平面向量(解析版)

专题11 平面向量

1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为

π 62πC．

3A．【答案】B

π 35πD．

6B．

2a?b|b|1??【解析】因为(a?b)?b，所以(a?b)?b?a?b?b=0，所以a?b?b2，所以cos?=，a?b2|b|222所以a与b的夹角为

π，故选B． 3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,?]．

2．【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB?BC= A．?3 C．2 【答案】C

22【解析】由BC?AC?AB?(1,t?3)，BC?1?(t?3)?1，得t?3，则BC?(1,0，)

B．?2 D．3

ABBC?(2,3)(1,0)?2?1?3?0?2．故选C．

【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．

3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB?AC|?|BC|”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C

【解析】AB与AC的夹角为锐角，所以|AB|2?|AC|2?2AB?AC?|AB|2?|AC|2?2AB?AC，即

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

|AB?AC|2?|AC?AB|2，因为AC?AB?BC，所以|AB+AC|>|BC|；

22

当|AB+AC|>|BC|成立时，|AB+AC|>|AB-AC|?AB?AC>0，又因为点A，B，C不共线，所

以AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C．

【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.

4．【2018年高考全国I卷理数】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?

31AB?AC 4431C．AB?AC

44A．【答案】A

13AB?AC 4413D．AB?AC

44B．

【解析】根据向量的运算法则，可得BE?111111BA?BD?BA?BC?BA?BA?AC 2224241113131?BA?BA?AC?BA?AC，所以EB?AB?AC. 2444444??故选A.

【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．【2018年高考全国II卷理数】已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4 C．2 【答案】B

【解析】因为a??2a?b??2a?a?b?2|a|???1??2?1?3所以选B.

22B．3 D．0

【名师点睛】已知非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)：

几何表示 坐标表示

模 |a|=a?a cos??a?b a?ba?x12?y12 cos??x1x2?y1y2x?y?x2?y2212122夹角 6．（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，

π e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，

2

向量b满足b?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是 A．3?1 B．3+1 C．2 D．2?3 【答案】A 【解析】设

，则由

，

由b2?4e·b+3=0得

的距离

因此|a?b|的最小值为圆心

选A.

到直线

得

23=3减去半径1，为2【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，

AB?BC,AD?CD,?BAD?120,AB?AD?1,若点E为边CD上的动点，则AE?BE的最小值为

21 1625C．

16A．【答案】A

B．

3 2D．3

【解析】连接AD,取AD中点为O,可知△ABD为等腰三角形，而AB?BC,AD?CD，所以△BCD为等边三角形，BD?设

3.

DE?tDC?0?t?1?AE?BE ?AD?DE?BD?DE?AD?BD?DE?AD?BD?DE???????223?BD?DE?DE 233t? ?0?t?1? 22121所以当t?时，上式取最大值，故选A.

416=3t2?【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.

8．【2018年高考北京卷理数】设a，b均为单位向量，则“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

a?3b?3a?b?a?3b?3a?b?a2?6a?b?9b2?9a2+6a?b?b222，因为a，b均

为单位向量，所以a2?6a?b?9b2?9a2+6a?b?b2?a?b=0? a⊥b，即“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．

2．等价法：利用p?q与非q?非p，q?p与非p?非q，p?q与非q?非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 9．【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP??AB??AD，则???的最大值为 A．3 C．5

B．22

D．2